M. Künzer Abgabe Mittwoch, 07.01.09

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 8

Aufgabe 26 (3+3+2 Punkte)

Sei L ein endlicher Körper.

(1) Zeige, daß |L| eine Primpotenz ist. D.h. zeige, daß es eine Primzahl p gibt und ein ℓ ⩾ 1 so, daß |L| = p^{ℓ}. (Hinweis: Kann char L = 0 sein? Zeige, daß L ein endlichdimensionaler Vektorraum über seinem Primkörper ist.)

(2) Sei weiterhin |L| = p^{ℓ}. Sei K ⊆ L ein Teilkörper. Zeige, daß |K| = p^{k} für einen Teiler k von ℓ. (Hinweis: Gradsatz).

(3) Bestimme alle Teilkörper von F_{27}; vgl. Aufgabe 24.(3).

Aufgabe 27 (3+2+3+3+3+4 Punkte) (Multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers)

Sei (G, ·) eine multiplikativ geschriebene endliche abelsche Gruppe. Seien a, b ∈ G. Sei K ein endlicher Körper. Schreibe K^{×} := K ∖ {0}.

(1) Ist ggT(o(a), o(b)) = 1, so zeige, daß o(ab) = o(a)o(b).

(2) Sei d ein Teiler von o(a). Zeige, daß o(a^{\frac{o(a)}{d}}) = d.

(3) Zeige, daß es in G ein Element von Ordnung kgV(o(a), o(b)) gibt.

(Hinweis: Schreibe o(a) = p_{1}^{s_{1}} ⋯ p_{k}^{s_{k}} und o(b) = p_{1}^{t_{1}} ⋯ p_{k}^{t_{k}} mit p_{i} prim. Mit (2) haben wir ein Element x_{i} ∈ G von Ordnung p_{i}^{max{s_{i},t_{i}}} für alle i, nämlich je eine geeignete Potenz von a oder von b. Bestimme o(x_{1} ⋯ x_{k}) mit (1).)

(4) Sei x ein Element von G maximaler Ordnung. Zeige, daß o(g) ein Teiler von o(x) ist für alle g ∈ G. (Hinweis: Sonst wäre o(x) < kgV(o(x), o(g)). Verwende (3).)

(5) Zeige, daß es ein x ∈ K^{×} mit o(x) = |K| − 1 gibt.

(Hinweis: Sei x ∈ K^{×} von maximaler Ordnung. Es ist o(x) ein Teiler von |K| − 1. Mit (4) folgt, daß alle Elemente von K^{×} Nullstellen von X^{o(x)} − 1 sind. Ein Polynom mit |K| − 1 Nullstellen hat Grad ⩾ |K| − 1.)

(6) Gib in F_{16}^{×} ein Element von Ordnung 15 an, samt seinen Potenzen; vgl. Aufgabe 24.(4).

Aufgabe 28 (2 Punkte)

Sei L|K eine endliche Körpererweiterung. Sei x ∈ L. Zeige, daß x algebraisch über K ist.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html