M. Künzer Abgabe Mittwoch, 17.12.08 (da um eine Woche verschoben)

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 7

Aufgabe 23 (8 Punkte) (Quotientenkörper)

Sei R ein Integritätsbereich. Zeige, daß frac R ein Körper ist.

Zeige also, daß Addition und Multiplikation die Axiome eines kommutativen Rings erfüllen und daß es zu jedem Element ungleich 0 in frac R ein multiplikativ inverses Element gibt; vgl. §1.10.1.

Aufgabe 24 (4+2+4+6 Punkte) (Frobenius)

(1) Sei K ein Körper mit char K =: p > 0. Zeige, daß

K ^{\overline{}^{Frob^{K}}} K
x  \overline{}Frob_{K}(x) := x^{p}

ein Körpermorphismus ist, der sogenannte Frobenius. Ist Frob_{K} ein Automorphismus? (Hinweis: Betrachte F_{p}(X).) Ist Frob_{K} ein Automorphismus, falls K endlich ist?

(2) Zeige unter Verwendung von Frob_{F_{p}} und der ersten Bemerkung in §2.1 den Kleinen Fermatschen Satz erneut; vgl. Aufgabe 12.(1).

(3) Konstruiere einen Körper F_{27} aus 27 Elementen. Bestimme {x ∈ F_{27} : Frob_{F_{27}}(x) = x}.

(4) Konstruiere einen Körper F_{16} aus 16 Elementen. Zeige, daß {x ∈ F_{16} : Frob_{F_{16}}^{2}(x) = x} ein Teilkörper von F_{16} isomorph zu F_{4} ist.

Aufgabe 25 (3+3+3 Punkte)

(1) Sei K ein Körper mit char K = 0. Seien s, t ⩾ 1. Sei f(X) := X^{s}(X − 1)^{t}. Zeige, daß ggT(f(X), f′(X)) = X^{s−1}(X − 1)^{t−1}.

(2) Sei K ein Körper. Sei f(X) ∈ K[X] vollständig in Linearfaktoren zerlegbar. Zeige, daß genau dann ein Linearfaktor in f(X) mit Exponent ⩾ 2 auftritt (d.h. f eine doppelte Nullstelle in K hat), wenn ggT(f(X), f′(X)) ≠ 1.

(3) Sei L ein Körper, und sei K ein Teilkörper von L. Seien f(X), h(X) ∈ K[X]. Zeige, daß der in K[X] genommene ggT von f(X) und h(X) mit dem in L[X] genommenen übereinstimmt.

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