M. Künzer Abgabe Mittwoch, 03.12.08

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 6

Aufgabe 17 (2+3+3 Punkte) Berechnen eines Elementes in F_{8} bedeute, es als F_{2}-Linearkombination in der Standardbasis (β^{0}, β^{1}, β^{2}) zu schreiben. Entsprechend in F_{4} resp. F_{9}.

(1) Bestimme die Verknüpfungstafeln von F_{4} bezüglich Addition und Multiplikation.

(2) Berechne (α^{2} + 1)^{3}, (β^{2} + 1)(β^{6} + 1) + β^{2} und (ι + 1)^{4} − ι.

(3) Berechne α^{−1}, (β^{2} + β + 1)^{−1} und (ι + 1)^{−1}. Aufgabe 18 (2+3+3 Punkte) Ist G eine Gruppe und x ∈ G, so schreibe ⟨x⟩ = {x^{k} : k ∈ Z}. Ist K ein Körper, so schreibe K^{×} := K ∖ {0}.

(1) Finde ein x ∈ F_{4}^{×} mit ⟨x⟩ = F_{4}^{×}.

(2) Finde ein x ∈ F_{8}^{×} mit ⟨x⟩ = F_{8}^{×}.

(3) Finde ein x ∈ F_{9}^{×} mit ⟨x⟩ = F_{9}^{×}. Aufgabe 19 (3+3+3 Punkte) Bestimme alle normierten irreduziblen Polynome in F_{q}[X] von Grad n.

(1) Sei q = 4 und n = 2.

(2) Sei q = 3 und n = 3.

(3) Sei q = 2 und n = 4. Aufgabe 20 (2 Punkte) Zeige, daß die kommutativen Ringe Z/9Z , Z/3Z × Z/3Z und F_{9} paarweise nichtisomorph sind. Aufgabe 21 (2 Punkte) Gibt es in F_{8} einen Teilkörper aus 4 Elementen? Warum? Aufgabe 22 (3+3 Punkte)

(1) Sei R ^{\overline{}^{f}} S ein Morphismus kommutativer Ringe. Sei J ⊆ S ein Ideal. Zeige, daß f^{−1}(J) ⊆ R ein Ideal ist, das Kern f enthält.

(2) Sei R ein kommutativer Ring, und sei I ⊆ R ein maximales Ideal. Zeige mittels (1) erneut, daß R/I ein Körper ist. (Hinweis: Wir haben zu zeigen, daß R/I genau 2 Ideale enthält. Wende (1) an auf R ^{\overline{}^{ρ}} R/I. Sei J ein Ideal von R/I. In welchem Verhältnis stehen I und ρ^{−1}(J)? Verwende nun Maximalität von I.)

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