M. Künzer Abgabe Mittwoch, 26.11.08

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 5

Aufgabe 13 (3+3+3 Punkte)

(1) Seien a, b ∈ Z_{⩾1}. Zeige, daß aZ ∩ bZ = kgV(a, b)Z.

(2) Finde das x ∈ Z_{⩾1} mit (12Z + 30Z) ∩ 21Z = xZ.

(3) Finde das f(X) ∈ F_{2}[X] mit (X^{4} + 1)F_{2}[X] + (X^{4} + X^{3} + X + 1)F_{2}[X] + (X^{3} + 1)F_{2}[X] = f(X)F_{2}[X] .

Aufgabe 14 (3 Punkte) Gib einen Ringisomorphismus φ von F_{2}[X] nach F_{2}[X] an mit φ ≠ id_{F_{2}[X]}, aber mit φ^{2} = id_{F_{2}[X]}.

Aufgabe 15 (3+3 Punkte)

(1) Bestimme char(Z/8Z × Z/12Z).

(2) Sei K ^{\overline{}^{f}} L ein Morphismus von Körpern. Zeige, daß char K = char L.

Aufgabe 16 (2+4+4+3 Punkte)

(1) Sei n ∈ Z_{⩾1} nicht prim. Zeige, daß Z/nZ kein Integritätsbereich ist.

(2) Berechne (X^{4} + 1 + (X^{7} + 1)F_{3}[X])^{−1} in F_{3}[X]/(X^{7} + 1)F_{3}[X].

(3) Wieviele Elemente enthält R := F_{2}[X]/(X^{3} + X^{2} + X + 1)F_{2}[X]? Finde ein invertierbares Element in R ∖ {1}. Ist R ein Integritätsbereich?

(4) Sei K ein Körper. Sei f(X) ∈ K[X] mit f(0) = f_{0} ≠ 0.

Bestimme (X + f(X)K[X])^{−1} in K[X]/f(X)K[X] (in Abhängigkeit von f(X)).

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