M. Künzer Abgabe Mittwoch, 19.11.08

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 4

Aufgabe 10 (4+2 Punkte)

(1) Sei R ein Integritätsbereich. Sei K ⊆ R ein Teilkörper von R, d.h. ein Teilring, der ein Körper ist. Sei R als K-Vektorraum endlichdimensional. Zeige, daß R ein Körper ist.

(2) Finde ein n ⩾ 0 und eine Basis (z_{1}, …, z_{n}) von C als R-Vektorraum so, daß für alle i ∈ [1, n] ein j ∈ [1, n] mit z̄_{i} = z_{j} existiert.

Aufgabe 11 ((2+2+2)+4+5 Punkte)

Die Ordnung eines Elements g in einer (multiplikativ geschriebenen) endlichen Gruppe G ist definiert als o(g) := min{n ∈ Z_{⩾1} : g^{n} = 1}. (Diese existiert, da wegen der Endlichkeit von G es 0 ⩽ k < ℓ mit g^{k} = g^{ℓ} geben muß, woraus g^{ℓ−k} = 1 folgt.)

Schreibe b⟨a⟩ := {ba^{k} : k ∈ Z} für a, b ∈ G.

Schreibe F_{p}^{×} := F_{p} ∖ {0} für p prim.

(1) Sei a ∈ G gegeben.

(a) Zeige, daß für b, b′ ∈ G entweder b⟨a⟩ = b′⟨a⟩ oder b⟨a⟩ ∩ b′⟨a⟩ = ∅.

(b) Zeige, daß |b⟨a⟩| = o(a) für alle b ∈ G.

(c) Folgere, daß o(a) ein Teiler von |G| ist.

(2) Bestimme alle Elementordnungen in (F_{7}^{×}, ·). Verifiziere (1.c) in diesem Beispiel.

(3) Bestimme alle Elementordnungen in (F_{11}^{×}, ·). Verifiziere (1.c) in diesem Beispiel.

Aufgabe 12 (5+3+3+3 Punkte)

Sei p prim.

(1) Sei a ∈ F_{p}. Zeige, daß a^{p} = a (Kleiner Fermatscher Satz; Hinweis: Aufgabe 11.(1.c)).

(2) Zeige, daß X^{p} − X = ∏_{i∈F_{p}}(X − i) in F_{p}[X]. (Hinweis: (1).)

Berechne ∏_{i∈[0,3−1]}(X − i) in Z[X] und vergleiche.

(3) Zeige, daß (p − 1)! ≡_{p} −1 (Satz von Wilson; Hinweis: Koeffizientenvergleich in (2)). Ist (n − 1)! ≡_{n} −1 für alle n ∈ Z_{⩾1} ?

(4) Sei p ⩾ 3. Sei s(p) := ∑_{i∈[1,p−1]} \frac{1}{i}. Zeige, daß der Zähler von s(p) in gekürzter Bruchschreibweise durch p teilbar ist. (Hinweis: Koeffizientenvergleich bei X^{2} in (2)).

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