M. Künzer Abgabe Mittwoch, 12.11.08

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 3

Aufgabe 7 (3+5 Punkte)

(1) Sei K ein Körper. Sei R ein kommutativer Ring, und sei R ≠ \{0_{R}\}. Sei K ^{\overline{}^{f}} R ein Morphismus von Ringen. Zeige, daß f injektiv ist. (Insbesondere sind Körpermorphismen stets injektiv.)

(2) Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, daß R[X] ^{\overline{}^{φ}} R , f(X) = ∑_{i⩾0} f_{i}X^{i} \overline{}f_{0} ein Ringmorphismus ist. Berechne Kern φ. Zeige, daß R[X]/XR[X] ≃ R.

Aufgabe 8 (2+4+3+3 Punkte) (Euklidscher Algorithmus) Sei K ein Körper. Seien f(X), h(X) ∈ K[X] mit deg f ⩽ deg h gegeben. Wir wollen ein g(X) ∈ K[X] so bestimmen, daß f(X)K[X] + h(X)K[X] = g(X)K[X]. (Ist g(X) noch normiert, so ist dies nach Definition gleichbedeutend mit ggT(f(X), h(X)) = g(X)K[X], vgl. §1.7.4.) Ferner wollen wir s(X), t(X) ∈ K[X] so bestimmen, daß f(X)s(X) + h(X)t(X) = g(X).

(1) Division mit Rest liefert h(X) = f(X)q(X) + r(X) mit q(X), r(X) ∈ K[X] und deg r < deg q. Zeige, daß f(X)K[X] + h(X)K[X] = f(X)K[X] + r(X)K[X].

(2) Sei u_{0}(X) := h(X) und u_{1}(X) := f(X). Sind u_{k}(X), u_{k+1}(X) ∈ K[X] bekannt, so schreibe, falls u_{k+1}(X) ≠ 0, u_{k}(X) = u_{k+1}(X)·q_{k+1}(X)+u_{k+2}(X) mit q_{k+1}(X), u_{k+2}(X) ∈ K[X] und deg u_{k+2}(X) < deg u_{k+1}(X). Zeige, daß es ein ℓ ⩾ 0 mit u_{ℓ}(X) ≠ 0 und u_{ℓ+1}(X) = 0 gibt. Setze g(X) := u_{ℓ}(X). Zeige, daß f(X)K[X] + h(X)K[X] = g(X)K[X].

(3) Seien s_{ℓ}(X) := 1 und s_{ℓ+1}(X) := 0. Sind s_{k}(X) und s_{k+1}(X) bekannt für ein k ∈ [2, ℓ], so setzen wir s_{k−1}(X) := s_{k+1}(X) − s_{k}(X)q_{k−1}(X). Zeige, daß f(X)s_{1}(X) + h(X)s_{2}(X) = g(X).

(4) Seien f(X) = X^{3} + 1 ∈ F_{2}[X] und h(X) = X^{8} + X^{3} + X + 1 ∈ F_{2}[X].

Finde mit (1, 2, 3) ein g(X) mit f(X)K[X] + h(X)K[X] = g(X)K[X] und Elemente s(X), t(X) ∈ F_{2}[X] mit f(X)s(X) + h(X)t(X) = g(X).

Aufgabe 9 (6 Punkte) (Formales Ableiten) Sei R ein kommutativer Ring. Für f(X) = ∑_{i⩾0} f_{i}X^{i} ∈ R[X] setzen wir

f′(X) := ∑_{i⩾1}if_{i}X^{i−1}

(wobei ein Element aus R mit einem Element i ∈ Z_{⩾0} durch Bilden dessen i-facher Summe in R multipliziert werde). Zeige, daß für f(X), g(X) ∈ R[X] und r, s ∈ R

\begin{aligned}(rf(X) + sg(X))′ & = & rf′(X) + sg′(X) \\ (f(X) · g(X))′ & = & f′(X) · g(X) + f(X) · g′(X) . \end{aligned}

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