M. Künzer Abgabe Mittwoch, 05.11.08

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 2

Aufgabe 5 (2+5+5 Punkte) (Biquadratische Gleichung)

Seien a, b, c, d ∈ C gegeben. Wir wollen ein x ∈ C mit x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 bestimmen.

(1) Falls a ≠ 0, so substituiere y = x + \frac{a}{4}, x = y − \frac{a}{4}. Zeige, daß eine Gleichung der Form y^{4} + py^{2} + qy + r = 0 resultiert, mit p, q, r ∈ C. Gib p, q, r darin in Abhängigkeit von a, b, c, d an.

(2) Sei α ∈ C so gewählt, daß α^{3} + \frac{1}{2}pα^{2} − rα − \frac{1}{2}pr + \frac{1}{8}q^{2} = 0 (vgl. Aufgabe 1). Falls p + 2α = 0, so zeige, daß y^{4} + py^{2} + qy + r = 0 genau dann, wenn

(y^{2} − α)^{2} = α^{2} − r .

Falls p + 2α ≠ 0, so zeige, daß y^{4} + py^{2} + qy + r = 0 genau dann, wenn

(y^{2} − α)^{2} = −(2α + p)(y + \frac{q}{2(2α+p)})^{2} .

(3) Schreibe γ := i\sqrt{6}. Bestimme mittels (1, 2) ein x ∈ C so, daß

x^{4} + 4x^{3} + 7x^{2} + (6 + γ)x + \frac{3}{2} + γ = 0 .

Dies beendet unseren kleinen Exkurs in die klassischen Methoden zur Lösung polynomialer Gleichungen.

Aufgabe 6 (3+4+4+3 Punkte) (Chinesischer Restsatz)

(1) Seien R und S kommutative Ringe. Seien auf dem kartesischen Produkt R × S Addition und Multiplikation definiert durch

\begin{aligned}(r, s) & + & (r′, s′) & := & (r + r′, s + s′) \\ (r, s) & · & (r′, s′) & := & (r · r′, s · s′) \end{aligned}

wobei r, r′ ∈ R und s, s′ ∈ S. Zeige, daß hierdurch ein kommutativer Ring R × S definiert wird. Falls R und S Körper sind, trifft das dann auch auf R × S zu?

(2) Sei R ein kommutativer Ring. Seien I, J ⊆ R Ideale derart, daß I + J = R. Zeige, daß

[figure: R/(I ∩ J); R/I; ×; R/J; r + (I ∩ J); (r + I; ,; r + J)]

ein Isomorphismus kommutativer Ringe ist. (Hinweis: Warum genügt es für die Surjektivität, (1, 0) und (0, 1) im Bild nachzuweisen?)

(3) Seien m, n ∈ Z gegeben mit ggT(m, n) = 1. Seien mit dem Euklidschen Algorithmus auch bereits s, t ∈ Z ermittelt mit ms + nt = 1. Zeige, daß Z/mnZ ≃ Z/mZ × Z/nZ ist. Gib Isomorphismen in beide Richtungen an.

(4) Zeige, daß Z/12Z ≃ Z/3Z × Z/4Z (als kommutative Ringe). Finde Isomorphismen in beide Richtungen.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html