M. Künzer Abgabe Mittwoch, 25.02.09

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 14

Aufgabe 48 (2+2+6 Punkte)

(1) Sei G eine endliche Gruppe. Sei G = ⟨g⟩ für ein g ∈ G mit o(g) = n, also G zyklisch. Zeige, daß jede Untergruppe von G von der Form ⟨g^{d}⟩ für einen Teiler d von n ist.

(2) Sei p prim. Sei s ⩾ 1. Ordne jedem Teiler d von s einen Körper K zwischen F_{p} und F_{p^{s}} mit [K : F_{p}] = d zu. Erhält man so alle Zwischenkörper?

(3) Konstruiere F_{64} . Konstruiere alle Körper zwischen F_{2} und F_{64} .

(Hinweis: ElementToSequence gibt Koeffizienten eines Element in F_{64} in Standardbasis.)

Aufgabe 49 (4+4 Punkte)

Zeige.

(1) Es ist S_{n} auflösbar für n ∈ [1, 4]. (Verwende Magma, ausgenommen IsSolvable).

(2) Es ist S_{n} nicht auflösbar für n ⩾ 5.

(Hinweis: Sei M ⊴ N ⩽ S_{n} mit N/M abelsch. Falls N alle Zykel der Länge 3 enthält, so auch M. Denn gegeben (a, b, c) ∈ N, so wird, da N/M abelsch, (a, b, c) = (a, b, d) ∘ (a, c, e) ∘ (a, b, d)^{−1} ∘ (a, c, e)^{−1} ∈ M, wobei |{a, b, c, d, e}| = 5.)

Aufgabe 50 (3 Punkte)

Sei K ein Körper. Sei f(X) ∈ K[X] normiert von Grad n ⩾ 1. Sei L der Zerfällungskörper von f(X) über K. Zeige, daß f(X) ∈ K[X] irreduzibel ist, falls [L : K] = n! .

Aufgabe 51 (16 Punkte)

Ist f(X) ∈ Q[X] auflösbar? (Verwende Magma, ausgenommen GaloisGroup und IsSolvable.)

(1) f(X) = X^{5} + 5X^{2} + 3 ∈ Q[X].

(2) f(X) = X^{5} + 5X^{2} + 2 ∈ Q[X].

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html