M. Künzer Abgabe Mittwoch, 11.02.09

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 13

Aufgabe 44 (3+3+3 Punkte)

Sei K ein Körper mit char K = 0. Sei n ⩾ 1. Sei L der Zerfällungskörper von X^{n} − 1 ∈ K[X] über K. Zeige.

(1) Es ist {z ∈ L : z^{n} = 1} eine Untergruppe der Ordnung n von L^{×}, die von einem Element ζ_{n} der Ordnung n erzeugt wird, welches wir fixieren. Es ist L = K(ζ_{n}). (Hinweis: Vgl. Aufgaben 27.(4, 5), 25.(2)).

(2) Sei U(Z/nZ) := {k + nZ : ggT(k, n) = 1}. Zeige, daß U(Z/nZ) mit der Multiplikation aus Z/nZ eine abelsche Gruppe bildet. Bestimme alle Elementordnungen in U(Z/12Z). Ist U(Z/12Z) von einem Element erzeugt?

(3) Sei für σ ∈ Gal(L|K) das Element i_{σ} + nZ ∈ U(Z/nZ) definiert durch σ(ζ_{n}) = ζ_{n}^{i_{σ}}. Zeige, daß Gal(L|K) \overline{}U(Z/nZ), σ \overline{}i_{σ} +nZ ein injektiver Gruppenmorphismus ist. Folgere, daß Gal(L|K) abelsch ist.

Aufgabe 45 (3+3 Punkte)

Sei K ein perfekter Körper. Sei L|K eine endliche Erweiterung.

(1) Zeige, daß L perfekt ist. (Hinweis: L einmal wie üblich, und einmal via x ∗ y := x^{p}y für x ∈ K und y ∈ L als Vektorraum auffassen.)

(2) Sei L|K galoisch. Sei f(X) ∈ K[X] ein normiertes Polynom, welches in ein Produkt verschiedener normierter irreduzibler Polynome zerfällt. Sei M der Zerfällungskörper von f(X) über L. Zeige, daß M|K galoisch ist.

Aufgabe 46 (12+12 Punkte)

(1) Bestimme die Galoisgruppe von X^{6} + 3X + 3 ∈ Q[X] mit Magma (ausgenommen GaloisGroup).

(2) Bestimme alle Körper zwischen Q und dem Zerfällungskörper von X^{3} + X + 1 ∈ Q[X]. (Hinweis: Aufgabe 34.(1), §3.4.2.1, Aufgabe 41.)

Aufgabe 47 (2+2 Punkte)

(1) Sei K perfekt, sei E|L|K mit E|K galoisch. Zeige mit einem Zerfällungskörperargument, daß E|L galoisch ist; vgl. Lemma aus §3.5.2. (Hinweis: Aufgabe 45.(1).)

(2) Sei q eine Primpotenz, sei s ⩾ 1. Zeige mit einem Zerfällungskörperargument, daß F_{q^{s}}|F_{q} galoisch ist; vgl. Lemma aus §3.6.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html