M. Künzer Abgabe Mittwoch, 04.02.09

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 12

Aufgabe 40 (3 Punkte) Sei K ein perfekter Körper. Sei f(X) ∈ K[X] ein normiertes irreduzibles Polynom von Grad 2. Zeige, daß Gal(f(X)) ≃ S_{2}. Folgere, daß Gal(C|R) ≃ S_{2} .

Aufgabe 41 (4+4+5+3 Punkte) Sei L der Zerfällungskörper von f(X) ∈ K[X] (mit K perfekt und f(X) ein Produkt verschiedener irreduzibler normierter Polynome). Sei U ⩽ Gal(L|K). Bestimme eine K-lineare Basis von Fix_{U}L. (Hinweis: Es ist Tr_{U} : L \overline{}Fix_{U}L, x \overline{}∑_{σ∈U} σ(x) eine surjektive K-lineare Abbildung.)

(1) f(X) = X^{3} + X + 1 ∈ Q[X], U ^{\overline{}^{∼}} ⟨(1, 3)⟩ in der Notation von §3.4.2.1.

(2) f(X) = X^{3} + X + 1 ∈ Q[X], U ^{\overline{}^{∼}} ⟨(1, 2, 3)⟩ in der Notation von §3.4.2.1.

(3) f(X) = X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8 ∈ Q[X], U ^{\overline{}^{∼}} ⟨(1, 2, 3)⟩ in der Notation der Lösung zu Aufgabe 34.(2). (Hinweis: Magma!)

(4) f(X) = X^{16} − X ∈ F_{2}[X], U = ⟨Frob_{F_{16}}^{2}⟩; vgl. Aufgabe 24.(4).

Aufgabe 42 (3+3+2 Punkte) Sei G ^{\overline{}^{f}} H ein Gruppenmorphismus. Sei N ⊴ G ein Normalteiler. Zeige.

(1) Es ist G/N := {gN : g ∈ G} eine Gruppe mit 1_{G/N} = 1_{G} · N und gN · g̃N = (g · g̃)N für g, g̃ ∈ G. Es heißt G/N Faktorgruppe von G nach (oder modulo) N.

(2) Es ist G/ Kern f \overline{}Im f , g Kern f \overline{}f(g) ein wohldefinierter Gruppenisomorphismus.

(3) Sind G und H endlich, so teilt |Im f| sowohl |G| als auch |H|. (Hinweis: Lagrange.)

Aufgabe 43 (12 Punkte) Sei K ein Körper. Sei n ⩾ 1. Schreibe E := K(T_{1}, …, T_{n}).

(1) Gib einen injektiven Gruppenmorphismus S_{n} \overline{}Aut(E|K) an. Wir identifizieren S_{n} mit ihrem Bild in Aut(E|K).

(2) Definiere

∑i∈[0,n](−1)^{n−i}s_{i}X^{i} = _{∑i∈[0,n]}(−1)^{n−i}s_{i}(T_{1}, …, T_{n})X^{i} := (X − T_{1}) ⋯ (X − T_{n}) ∈ E[X] .

Im Fall n = 3 berechne s_{i}(T_{1}, T_{2}, T_{3}) für i ∈ [0, 3].

(3) Definiere den Teilkörper

L := K(s_{0}, …, s_{n−1}) := \{\frac{f(s_{0},...,s_{n−1})}{g(s_{0},...,s_{n−1})} : f(X_{0},...,X_{n−1}), g(X_{0},...,X_{n−1}) ∈ K[X_{0},...,X_{n−1}], g(s_{0},...,s_{n−1}) ≠ 0\} ⊆ E .

Zeige L ⊆ Fix_{S_{n}}E. Folgere [E : L] ⩾ n! . (Hinweis: Dedekind.)

(4) Zeige, daß [L(T_{1}, …, T_{i−1}, T_{i}) : L(T_{1}, …, T_{i−1})] ⩽ n + 1 − i für i ∈ [1, n]. Folgere [E : L] ⩽ n! . Folgere L = Fix_{S_{n}}E. Folgere μ_{T_{i},L(T_{1},...,T_{i−1})}(X) = (X − T_{i}) ⋯ (X − T_{n}) . Gib eine L-lineare Basis von E an. (Hinweis: (X − T_{i}) ⋯ (X − T_{n}) = \frac{(X−T_{1})···(X−T_{n})}{(X−T_{1})···(X−T_{i−1})} ∈ L(T_{1}, …, T_{i−1})[X].)

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