M. Künzer Abgabe Mittwoch, 28.01.09

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 11

Aufgabe 37 (2+1+2+3+1 Punkte) Sei G ^{\overline{}^{f}} H ein Gruppenmorphismus.

(1) Sei U ⩽ G. Zeige, daß f(U) ⩽ H.

(2) Zeige, daß Im f ⩽ H. (Hinweis: Spezialfall von (1).)

(3) Ist f injektiv, so zeige, daß f|^{Im f} ein Gruppenisomorphismus von G nach Im f ist.

(4) Sei N ⊴ H. Zeige, daß f^{−1}(N) ⊴ G.

(5) Zeige, daß Kern f ⊴ G. (Hinweis: Spezialfall von (4).)

Aufgabe 38 (4+2+3+2 Punkte) (Satz von Lagrange in (1.c)) Sei G eine endliche Gruppe. Sei U ⩽ G. Schreibe bU := {bu : u ∈ U} für b ∈ G.

(1) (Hinweis: Vgl. Aufgabe 11.(1).)

(a) Zeige, daß für b, b′ ∈ G entweder bU = b′U oder bU ∩ b′U = ∅.

(b) Zeige, daß |bU| = |U| für alle b ∈ G.

(c) Folgere, daß |U| ein Teiler von |G| ist.

(2) Berechne (1, 3) ∘ (1, 3, 4) und (1, 6, 3) ∘ (2, 4, 3, 5) ∘ (2, 4) in S_{6} .

(3) Gib alle Untergruppen von S_{3} an. Welche davon sind normal?

(4) Verifiziere (1.c) für G = S_{12} und U = ⟨(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), (1, 3)⟩ via Magma.

Aufgabe 39 (10+15 Punkte) Sei K ein perfekter Körper. Sei f(X) ∈ K[X] ein Produkt verschiedener irreduzibler Polynome. Berechne Gal(f(X)). Verwende hierzu Magma (ausgenommen GaloisGroup).

(1) f(X) = X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8 ∈ Q[X] (vgl. Aufgabe 34.(2)).

(2) f(X) = X^{6} + X^{2} + 1 ∈ Q[X] (vgl. Aufgabe 30.(2)).

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