M. Künzer Abgabe Mittwoch, 21.01.09

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 10

Aufgabe 33 (4+4 Punkte)

Sei p prim. Sei k ⩾ 2.

(1) Zeige, daß ein irreduzibles Polynom von Grad k in F_{p}[X] existiert.

(Hinweis: Nach Aufgabe 27.(5) ist F_{p^{k}}^{×} = ⟨y⟩ für ein y ∈ F_{p^{k}}^{×} ; vgl. auch Kor. in §2.5.4. Insbesondere ist F_{p^{k}} = F_{p}(y). Betrachte μ_{y,F_{p}}(X).)

(2) Sei f(X) ∈ F_{p}[X] normiert und irreduzibel mit deg f = k. Zeige, daß in F_{p}[X] das Polynom X^{p^{k}} − X von f(X) geteilt wird, nicht aber von f(X)^{2}. (Hinweis: Sei K := F_{p}[T]/f(T)F_{p}[T]. Sei y := T + f(T)F_{p}[T] ∈ K. Warum teilt f(X) = μ_{y,F_{p}}(X) das Polynom X^{p^{k}} − X? Wie zerfällt X^{p^{k}} − X in K[X] ? Wie zerfällt also f(X) in K[X] ? Wie oft kann also f(X) nur in X^{p^{k}} − X aufgehen?)

Aufgabe 34 (4+4+6+2 Punkte)

Bestimme den Zerfällungskörper von f(X) ∈ K[X] via Magma. Gib seinen Grad über K an. (Hinweis: Löse wie in Aufgabe 30. Damals fiel der Begriff des Zerfällungskörpers noch nicht.)

(1) f(X) = X^{3} + X + 1 ∈ Q[X].

(2) f(X) = X^{4} + 4X^{2} + 8X + 8 ∈ Q[X].

(3) f(X) = X^{6} − X^{3} + 2 ∈ Q[X].

(4) f(X) = X^{2} + 1 ∈ Q(\sqrt{2})[X].

Aufgabe 35 (4 Punkte)

Sei K ein Körper mit char K = p > 0. Sei a ∈ K^{×} keine p-te Potenz eines Elements von K^{×}. Sei L der Zerfällungskörper von X^{p} − a ∈ K[X].

Zeige, daß X^{p} − a ∈ K[X] irreduzibel ist. Zeige, daß [L : K] = p.

(Hinweis: Sei b ∈ L eine Nullstelle. Dann ist (X − b)^{p} = X^{p} − a. Hätte X^{p} − a einen nichttrivialen Faktor f(X) ∈ K[X], so wäre dieser von der Form (X − b)^{s} für ein s ∈ [1, p − 1]. Dann aber wäre f_{0} = (−b)^{s} in K. Mit su + pv = 1 mit u, v ∈ Z wäre (−b) = (−b)^{su+pv} = ((−b)^{s})^{u}(−a)^{v} ∈ K.)

Aufgabe 36 (3+3 Punkte)

Sei K(y)|K eine endliche monogene Körpererweiterung. Zeige oder widerlege.

(1) Es ist K(y) ein Zerfällungskörper von μ_{y,K}(X).

(2) Ist [K(y) : K] = 2, so ist K(y) ein Zerfällungskörper von μ_{y,K}(X).

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