M. Künzer Abgabe Mittwoch, 29.10.08

Galoistheorie, WS 08/09

Blatt 1

Aufgabe 1 (2+2+2+4 Punkte) (Kubische Gleichung) Seien a, b, c ∈ C gegeben. Wir wollen ein x ∈ C mit x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bestimmen.

(1) Falls a ≠ 0, so substituiere y = x + \frac{a}{3}, x = y − \frac{a}{3}. Zeige, daß eine Gleichung der Form y^{3} + py + q = 0 resultiert, mit p, q ∈ C. Gib p, q darin in Abhängigkeit von a, b, c an.

(2) Falls p ≠ 0, so substituiere y = z − \frac{p}{3z}. Zeige, daß für eine Nullstelle z ∈ C ∖ \{0\} der substituierten Gleichung das zugehörige y Nullstelle von y^{3} + py + q = 0 ist.

(3) Löse die substituierte Gleichung aus (2).

(4) Bestimme mittels (1, 2, 3) ein x ∈ C mit x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x − \frac{1}{2} = 0. (Taschenrechner!) Aufgabe 2 (2+4+3+3 Punkte) (Euklidscher Algorithmus) Seien a, b ∈ Z_{>0} mit a < b gegeben. Wir wollen ggT(a, b) bestimmen, sowie s, t ∈ Z mit as + bt = ggT(a, b).

(1) Division mit Rest liefert b = aq + r mit r ∈ [0, a − 1]. Zeige, daß ggT(a, b) = ggT(a, r).

(2) Sei x_{0} := b und x_{1} := a. Sind x_{k}, x_{k+1} ∈ Z_{⩾0} bekannt, mit x_{k} > x_{k+1}, so schreibe, falls

x_{k+1} ≠ 0,

x_{k} = x_{k+1} · q_{k+1} + x_{k+2}

mit x_{k+2} ∈ [0, x_{k+1} − 1].

Zeige, daß es ein ℓ ⩾ 0 mit x_{ℓ} > 0 und x_{ℓ+1} = 0 gibt. Zeige, daß ggT(a, b) = x_{ℓ}.

(3) Seien s_{ℓ} := 1 und s_{ℓ+1} := 0. Sind s_{k} und s_{k+1} bekannt für ein k ∈ [2, ℓ], so setzen wir

s_{k−1} := s_{k+1} − s_{k}q_{k−1}

Zeige, daß as_{1} + bs_{2} = x_{ℓ}. (Hinweis: Zeige x_{k}s_{k} + x_{k−1}s_{k+1} = x_{ℓ} per Induktion.)

(4) Seien a = 23, b = 87. Finde mit (1, 2, 3) Elemente s, t ∈ Z mit as + bt = ggT(a, b). Aufgabe 3 (2+3 Punkte) Wir rechnen in Z/nZ, wobei n ∈ Z_{⩾1}. Die Ergebnisse sind durch Elemente x ∈ Z mit −n/2 < x ⩽ n/2 repräsentiert anzugeben.

(1) Wir rechnen in Z/7Z. Bestimme 4 · 3 + 1. Bestimme 6 · 5 · 4.

(2) Wir rechnen in Z/32Z. Bestimme 3 · 5 · 7 · 9. Bestimme 31^{31}. Bestimme 4^{3}. Aufgabe 4 (4+4 Punkte)

(1) Sei m ∈ Z_{⩾1}. Sei k ∈ [0, m − 1]. Zeige, daß k + mZ genau dann invertierbar ist in Z/mZ, wenn ggT(k, m) = 1. Berechne (23 + 87Z)^{−1} und (17 + 1000Z)^{−1}.

(2) Sei n teilerfremd zu 10. Schreibe 1/n als periodischen Dezimalbruch. Zeige, daß die Periodenlänge gleich min{k ⩾ 1 : 10^{k} ≡_{n} 1} ist. Bestätige dies in den Fällen n = 7 und n = 41.

www.uni-koblenz.de/∼kuenzer/galois/galois.html