M. Künzer Abgabe bis Fr 21.06.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 8

Aufgabe 29 (6 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Seien 𝔤 und 𝔥 endlichdimensionale halbeinfache Liealgebren. Sei 𝔤 ^{\overline{}^{φ}} 𝔥 ein Morphismus von Liealgebren. Sei g ∈ 𝔤. Man zeige φ(g)_{as} = φ(g_{as}) und φ(g)_{an} = φ(g_{an}). Aufgabe 30 (10 Punkte) Sei K ein Körper mit char K ≠ 2. Sei b := (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) ∈ K^{5×5}. Man zeige, daß 𝔬(K, b) einfach ist; cf. Aufgabe 1.(2). Aufgabe 32 (4+2 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei M ein 𝔰𝔩_{2}(K)-Modul.

(1) Sei μ ∈ γ(M) ⊆ K ein maximales Gewicht.

Sei m_{0} ∈ M_{μ}. Setze m_{k} := k!^{−1}(φ(f))^{k}(m_{0}) für k ⩾ 1 und m_{−1} := 0. Wir verwenden die Bezeichnungen von §3.5, insbesondere von Bemerkung 78. Man zeige, daß [h, m_{k}] = (μ − 2k)m_{k} ist, daß [e, m_{k}] = (μ − k + 1)m_{k−1} ist und daß [f, m_{k}] = (k + 1)m_{k+1} ist für k ⩾ 0.

(2) Sei M einfach. Sei λ ∈ K. Sind λ und λ + 2 in γ(M), so zeige man [e, M_{λ}] = M_{λ+2} . Aufgabe 33 (6 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Wir schreiben 𝔤 := 𝔰𝔩_{2}(K). Man zerlege folgende 𝔤-Moduln jeweils in eine direkte Summe von Teilmoduln isomorph zu den in Bemerkung 79 konstruierten. Man bestimme die Gewichtsräume.

(1) Man betrachte den via 𝔤 [figure] 𝔤𝔩_{2}(K) gegebenen 𝔤-Modul K^{2×1}.

(2) Man betrachte den regulären 𝔤-Modul 𝔤.

(3) Es ist 𝔤 [figure] 𝔰𝔩_{3}(K), (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) \overline{}(\begin{matrix}a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}). Man betrachte den Modul M := 𝔰𝔩_{3}(K)|_{𝔤}.

           pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/lexmath/kuenzer/lalg19/