G. Nebe, M. Künzer

Algebra I, WS 04/05

Lösung 6

Aufgabe 25.

Sei zunächst angemerkt, daß Aut G auf (Aut G)x ∪ (Aut G)y in der Tat treu operiert, da ein Automorphismus, der x und y festläßt, notwendig die Identität ist. In anderen Worten, es ist Aut G \overline{}S_{(Aut G)x∪(Aut G)y} injektiv.

Sei ferner angemerkt, daß aus G̃ \overline{}^{φ}_{∼} G folgt, daß Aut G̃ ^{\overline{}^{∼}} Aut G vermöge α \overline{}φ ∘ α ∘ φ^{−1}.

(1) (a) Wir erstellen zur Durchführung des Bahnenalgorithmus für die Operation von F = ⟨g, h⟩ auf G folgenden Baum. Redundante Normalteilererzeuger (also z.B. ein Konjugierter eines bereits aufgetretenen Erzeugers) werden mit ‘red.’ gekennzeichnet.

[figure: •; 1; g; h; •; (1, 2)(3, 4); g; h; ^{•^{1} Relator g^{2}}; •; (1, 2, 3, 4); g; h; •; (2, 4); g; h; ^{•^{(1,2,3,4)}red.}; •; (1, 3)(2, 4); g; h; ^{•^{(1,4)(2,3)} red.}; ^{•^{(2,4)} red.}; ^{•^{(1,2)(3,4)} red.}; •; (1, 3); g; h; •; (1, 4, 3, 2); g; h; ^{•^{(1,3)} red.}; •; (1, 4)(2, 3); g; h; ^{•^{(1,3)(2,4)} Relator (gh)^{4}}; ^{•^{(1,4,3,2)}red.}; ^{•^{1} Relator h^{2}}]

So war das eigentlich gedacht. Die in Text gefaßten Lösungen zu den Aufgaben 9 und 13 sollten die Prozedur des Erstellens eines solchen Baumes (oder wahlweise eines Graphen) darlegen – was mancherorts zu Mißverständnissen führte.

Es folgt der Isomorphismus

[figure: G̃ = ⟨g, h : g^{2}, h^{2}, (gh)^{4}⟩; ∼; ⟨(1, 2)(3, 4), (1, 3)⟩ = G; g; (1, 2)(3, 4); h; (1, 3)]

(b) Es ist

G/G′ ≃ G̃/G̃′ ≃ ⟨g, h : g^{2}, h^{2}, (gh)^{4}, [g, h]⟩ ≃ ⟨g, h : g^{2}, h^{2}, g^{4}h^{4}, [g, h]⟩ .

Damit können wir G̃/G̃′ auch als Cokern (i.e. als Bildbereich modulo Bild) der Z-linearen Abbildung

Z^{3} ^{\overline{}^{( \begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix} )}} Z^{2}

schreiben. Die erste Spalte von (\begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}) stammt aus der Relation g^{2}, die zweite aus der Relation h^{2}, und die dritte schließlich aus g^{4}h^{4}. Die Elementarteilerform (auch als Invariantenteilerform bekannt) der Matrix (\begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}) ist (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}). Damit wird

G/G′ ≃ Z/2Z ⊕ Z/2Z ≃ C_{2} × C_{2} .

(c) Berechnen wir die Aut G̃, was wir nach eingangs gemachter Bemerkung dürfen.

Für einen Automorphismus φ von G̃, i.e. einen Gruppenmorphismus G̃ ^{\overline{}^{φ}} G̃, können wir g und h auf jeweils ein Element der Ordnung 2 schicken, d.h. auf je ein Element von {g, ^{h}g, h, ^{g}h, (gh)^{2}}. Die Relation (φ(g)φ(h))^{4} = 1 ist für alle Paare von Bildelementen (φ(g), φ(h)) erfüllt, stellt also keine weitere Einschränkung dar.

Es ist G̃ wie folgt von 2 Elementen der Ordnung 2 erzeugbar.

\begin{aligned}G̃ & = & ⟨g, h⟩ = ⟨g, ^{g}h⟩ = ⟨^{h}g, h⟩ = ⟨^{h}g, ^{g}h⟩ \\ & = & ⟨h, g⟩ = ⟨^{g}h, g⟩ = ⟨h, ^{h}g⟩ = ⟨^{g}h, ^{h}g⟩ . \end{aligned}

Alle anderen Paare von Elementen der Ordnung 2 erzeugen G̃ nicht. Dies überprüft man am einfachsten stattdessen im isomorphen Bild G.

Damit haben wir 4 Möglichkeiten, g abzubilden. Für jede dieser 4 Möglichkeiten gibt es noch 2 Möglichkeiten, h abzubilden. Es ist folglich | Aut G | = | Aut G̃ | = 8.

Erzeugt wird Aut G̃ von

[figure: G̃; α; ∼; G̃; g; g; h; ^{g}h]

und

[figure: G̃; β; ∼; G̃; g; h; h; g ,]

wie wir nun rechtfertigen wollen.

Numeriert man die Vereinigung der Orbits von g und h unter Aut G̃, i.e. den Orbit von g, in folgender Reihenfolge

\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ g & ^{h}g & h & ^{g}h \end{matrix} ,

so erhält man den injektiven Gruppenmorphismus

[figure: Aut G̃; S_{4}; α; (3, 4); β; (1, 3)(2, 4)]

Man prüft nach, daß die Bilder von α und β in der Tat eine Untergruppe von Ordnung 8 in S_{4} erzeugen. Damit ist Aut G̃ = ⟨α, β⟩ und der Morphismus so vollständig angegeben.

• Die hier gewählten Erzeuger von G = D_{8} sind etwas unkonventionell. Üblicherweise verwendet man x′ = (1, 2, 3, 4) und

y = (1, 3), womit wir

D_{8} ≃ ⟨a, b : a^{4}, b^{2}, abab⟩

erhalten, wenn wir a \overline{}x′ und b \overline{}y schicken.

• Aus der Einbettung in S_{4} aus (c) folgt Aut D_{8} ≃ D_{8}.

(2) (a) Wir erstellen zur Durchführung des Bahnenalgorithmus für die Operation von F = ⟨g, h⟩ auf G folgenden Baum.

[figure: •; ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ); I; J; •; ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ); I; J; •; ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ); I; J; •; ( \begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ); I; J; ^{•^{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )} Relator I^{4}}; ^{•^{( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} )}red.}; •; ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ); I; J; ^{•^{( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix} )} red.}; ^{•^{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )} red.}; •; ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix} ); I; J; ^{•^{( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )}Relator IJIJ^{−1}}; ^{•^{( \begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} )}red.}; •; ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ); I; J; •; ( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ); I; J; ^{•^{( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )}red.}; ^{•^{( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} )}Relator JIJI^{−1}}; ^{•^{( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )}Relator I^{−2}J^{2}}]

Unter Verwendung von IJI = J, I^{4} = 1 und I^{2} = J^{2} wird

JIJI^{−1} = J \underbrace{IJI}_{= J} I^{2} = J^{2}I^{2} = 1 ,

und somit ist auch der Relator JIJI^{−1} redundant. Beachte noch, daß modulo diesen Relatoren J^{4} = (J^{2})^{2} = (I^{2})^{2} = 1 ist. Es folgt der Isomorphismus

[figure: G̃ = ⟨I, J : I^{4}, I^{2}J^{2}, IJIJ^{3}⟩; ∼; ⟨(\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})⟩ = G; I; (\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix}); J; (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .]

(b) Es ist

G/G′ ≃ G̃/G̃′ ≃ ⟨I, J : I^{4}, I^{2}J^{2}, IJIJ^{3}, [I, J]⟩ ≃ ⟨I, J : I^{4}, I^{2}J^{2}, I^{2}J^{4}, [I, J]⟩ .

Damit können wir G̃/G̃′ auch als Cokern (i.e. als Bildbereich modulo Bild) der Z-linearen Abbildung

Z^{3} ^{\overline{}^{( \begin{matrix}4 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix} )}} Z^{2}

schreiben. Die erste Spalte von (\begin{matrix}4 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}) stammt aus der Relation I^{4}, die zweite aus der Relation I^{2}J^{2}, und die dritte schließlich aus I^{2}J^{4}.

Die Elementarteilerform der Matrix (\begin{matrix}4 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}) ist (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}). Damit wird

G/G′ ≃ Z/2Z ⊕ Z/2Z ≃ C_{2} × C_{2} .

(c) Berechnen wir die Aut G̃, was wir nach eingangs gemachter Bemerkung dürfen. Ein Automorphismus von G̃ schickt I auf I′ ∈ G̃ und J auf J′ ∈ G̃ derart, daß I^{′4} = 1, I^{′2} = J^{′2} und J′I′ = I^{−1}. Es sind I′ und J′ wieder von Ordnung 4. Die Menge der Elemente der Ordnung 4 in G̃ ist {I, J, IJ, I^{−1}, J^{−1}, (IJ)^{−1}}. Für I′ haben wir also 6 Möglichkeiten. Für J′ haben wir nach erfolgter Wahl von I′ noch 4 Möglichkeiten, nämlich allen außer I′ und I^{′−1}, um sowohl die Relationen zu erfüllen als auch sicherzustellen, daß G̃ = ⟨I′, J′⟩. Es ist folglich | Aut G | = | Aut G̃ | = 24. Erzeugt wird Aut G̃ von

[figure: G̃; α; ∼; G̃; I; IJ; J; J]

und

[figure: G̃; β; ∼; G̃; I; J; J; I ,]

wie wir nun rechtfertigen wollen. Numeriert man die Vereinigung der Orbits von I und J unter Aut G̃, i.e. den Orbit von I, in folgender Reihenfolge

\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ I & J & IJ & I^{−1} & J^{−1} & (IJ)^{−1} \end{matrix} ,

so erhält man den injektiven Gruppenmorphismus

[figure: Aut G̃; S_{6}; α; (1, 3, 4, 6); β; (1, 2)(3, 6)(4, 5)]

Man prüft nach, daß die Bilder von α und β in der Tat eine Untergruppe von Ordnung 24 in S_{6} erzeugen. Damit ist Aut G̃ = ⟨α, β⟩ und der Morphismus so vollständig angegeben.

• Mittels 26 (4) sieht man vollends, daß

Aut Q_{8} ≃ ⟨(1, 3, 4, 6), (1, 2)(3, 6)(4, 5)⟩ ≃ S_{4} , indem man wie in 26 (5) nachrechnet, daß man (1, 2, 3, 4) auf (1, 3, 4, 6) und (1, 2) auf (1, 2)(3, 6)(4, 5) schicken darf.

• Eine etwas redundante, aber schön symmetrische Form ergibt sich, wenn man zusätzlich K = IJ einführt. Man erhält Q_{8} ≃ ⟨I, J, K : I^{4}, J^{4}, K^{4}, IJK^{−1}, JKI^{−1}, KIJ^{−1}⟩ .

(3) (a) Der Bahnenalgorithmus kann hier umgangen werden, indem man ad hoc behauptet, daß

[figure: G̃ := ⟨g, h : g^{4}, h^{4}, [g, h]⟩; ∼; ⟨(1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8)⟩ = G; g; (1, 2, 3, 4); h; (5, 6, 7, 8) ,]

und dies im Nachhinein rechtfertigt. Dieser Gruppenmorphismus ist wohldefiniert, wie wir durch Nachrechnen der Relationen auf den Bildern erkennen: x^{4} = 1, y^{4} = 1 und [x, y] = 1. Er ist auch surjektiv, da die Bilder x und y der Erzeuger g und h der linken Seite die rechte Seite erzeugen. Wir halten fest, daß |G| = 16. Da nun auf der linken Seite gh = hg sowie g^{4} = 1 und h^{4} = 1 gelten, kann dort jedes Element in der Form g^{i}h^{j} mit i, j ∈ [0, 3] geschrieben werden. Damit enthält die linke Seite höchstens 16 Elemente. Somit ist der angegebene Morphismus auch injektiv, und somit ein Isomorphismus. Insbesondere enthält die linke Seite genau 16 Elemente. Eine solche ad-hoc-Methode ist immer dann anwendbar, wenn man in der Lage ist, Relatoren in G zu sehen (wie hier x^{4}, y^{4}, [x, y]), aus welchen |G̃| ≤ |G| folgt. Es ist hier natürlich G ≃ C_{4} × C_{4}.

(b) Es ist G abelsch, mithin G′ = 1 und G/G′ ≃ G ≃ C_{4} × C_{4}.

(c) Ein Endomorphismus von G̃, i.e. ein Gruppenmorphismus G̃ \overline{}G̃, ist gegeben durch die Angabe von zwei Elementen g′ und h′ in G̃, für die dieselben Relationen gelten wie für g und h, i.e. für die g^{′4} = 1, h^{′4} = 1 und [g′, h′] = 1. Dies definiert dann den Endomorphismus g \overline{}g′, h \overline{}h′. Nun können wir dafür g′ und h′ völlig beliebig aus G̃ wählen. Ist g′ = g^{a}h^{c}, h′ = g^{b}h^{d}, so schreiben wir diesen Endomorphismus in Matrixform (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ (Z/4Z)^{2×2}.

Die Komposition von zwei Endomorphismen ist gegeben durch die Matrixmultiplikation. In der Tat bildet die Komposition von (\begin{matrix}a′ & b′ \\ c′ & d′ \end{matrix} ) verkettet mit (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) die Elemente wie folgt ab.

[figure: g; g^{a}h^{c}; (g^{a′}h^{c′})^{a}(g^{b′}h^{d′})^{c}; =; g^{a′a+b′c}h^{c′a+d′c}; h; g^{b}h^{d}; (g^{a′}h^{c′})^{b}(g^{b′}h^{d′})^{d}; =; g^{a′b+b′d}h^{c′b+d′d}]

Das Resultat ist also dasselbe, wie bei Matrixmultiplikation und nachfolgender Ausführung des Produktes als Endomorphismus. Nun ist ein Automorphismus ein invertierbarer Endomorphismus. Es folgt Aut G ≃ Aut G̃ ≃ GL_{2}(Z/4Z). Mit dem Elementarteilersatz sieht man, daß

GL_{2}(Z/4Z) = ⟨(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})⟩ .

Wie in Aufgabe 23 sieht man, daß | Aut G | = | GL_{2}(Z/4Z)| = 2^{4} · (2^{2} − 1)(2^{2} − 2) = 2^{5}3^{1} = 96. Numeriert man die Vereinigung der Orbits von g und h unter Aut G̃, i.e. den Orbit von g, in folgender Reihenfolge

\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ g^{0}h^{1} & g^{0}h^{3} & g^{1}h^{0} & g^{1}h^{1} & g^{1}h^{2} & g^{1}h^{3} & g^{2}h^{1} & g^{2}h^{3} & g^{3}h^{0} & g^{3}h^{1} & g^{3}h^{2} & g^{3}h^{3} \end{matrix} ,

so erhält man den injektiven Gruppenmorphismus

[figure: Aut G̃; S_{12}; (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}); (3, 4, 5, 6)(7, 8)(9, 12, 11, 10); (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}); (1, 4, 7, 10)(2, 12, 8, 6)(5, 11); (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}); (1, 2)(4, 6)(7, 8)(10, 12)]

Aufgabe 26.

(1) Da die Relatoren für die Erzeuger von S̃_{n−1} eine Teilmenge der Relatoren für S̃_{n} ist, verschwinden die Relatoren unter dem Gruppenmorphismus Fr(s_{1}, …, s_{n−1}) = ⟨s_{1}, …, s_{n−1}⟩ \overline{}S̃_{n}, s_{i} \overline{}s_{i}. Damit wird ein Gruppenmorphismus

S̃_{n−1} ^{\overline{}^{φ}} S̃_{n} wie angegeben induziert.

Wir wissen an dieser Stelle noch nicht, daß S̃_{n−1} ^{\overline{}^{φ}} S̃_{n} injektiv ist. Dies kann man aber als Konsequenz von (4) zeigen.

(2) Sei x ein beliebiges Element von S̃_{n}. Wir wollen

x ∈ U ∪ ⋃_{t∈[1,n−1]} s_{t}s_{t+1} ⋯ s_{n−1}U

zeigen. Sei hierzu

I := \{f : [1, k_{f}] \overline{}[1, n − 1] : k_{f} ≥ 1, f(j) ≠ f(j + 1) für j ∈ [1, k_{f} − 1]\} ,

und ferner

I_{x} := {f ∈ I : s_{f(1)}s_{f(2)} ⋯ s_{f(k_{f})} = x} .

Gibt es ein f ∈ I_{x} mit f(j) ≠ n − 1 für alle j ∈ [1, k_{f}], so ist x ∈ U, und wir sind fertig.

Wir können also annehmen, es gibt für alle f ∈ I_{x} ein j ∈ [1, k_{f}] mit f(j) = n − 1.

Sei die Leitposition l_{f} von f ∈ I_{x} das maximale Element j ∈ [1, k_{f}] mit f(j) = n − 1. Also f(l_{f}) = n − 1, und f(j) ≠ n − 1 für j ∈ [l_{f} + 1, k_{f}].

Sei nun eine Abbildung f ∈ I_{x} mit minimaler Leitposition gewählt.

Sei nun angenommen, es gebe ein j ∈ [1, l_{f} − 1] mit f(j) + 1 ≠ f(j + 1). Wähle j damit maximal.

Falls f(j) ≤ f(j + 1) − 2, so ist

x = (s_{f(1)} ⋯ s_{f(j−1)})s_{f(j)}(s_{f(j+1)} ⋯ s_{f(l_{f})}) ⋯ = (s_{f(1)} ⋯ s_{f(j−1)})(s_{f(j+1)} ⋯ s_{f(l_{f})})s_{f(j)} ⋯

im Widerspruch zur minimalen Leitposition von f.

Falls f(j) ≥ f(j + 1) + 1, so ist wegen der Maximalität von j

x = (s_{f(1)} ⋯ s_{f(j−1)})s_{f(j)}(s_{f(j+1)}s_{f(j+2)} ⋯ s_{f(l_{f})}) ⋯
= (s_{f(1)} ⋯ s_{f(j−1)})s_{f(j)}(s_{n−l_{f} +j}s_{n−l_{f} +j+1} ⋯ s_{n−1}) ⋯
= (s_{f(1)} ⋯ s_{f(j−1)})(s_{n−l_{f} +j} ⋯ s_{f(j)}s_{f(j)−1}s_{f(j)}s_{f(j)+1} ⋯ s_{n−1}) ⋯
= (s_{f(1)} ⋯ s_{f(j−1)})(s_{n−l_{f} +j} ⋯ s_{f(j)−1}s_{f(j)}s_{f(j)−1}s_{f(j)+1} ⋯ s_{n−1}) ⋯
= (s_{f(1)} ⋯ s_{f(j−1)})(s_{n−l_{f} +j} ⋯ s_{f(j)−1}s_{f(j)}s_{f(j)+1} ⋯ s_{n−1})s_{f(j)−1} ⋯,

im Widerspruch zur minimalen Leitposition von f.

In beiden Fällen erhalten wir einen Widerspruch, und also ist f(j) + 1 = f(j + 1) für alle j ∈ [1, l_{f} − 1]. Damit ist

x = (s_{f(1)} ⋯ s_{f(l_{f})})(s_{f(l_{f} +1)} ⋯ s_{f(k_{f})}) = (s_{n−l_{f}} s_{n−l_{f} +1} ⋯ s_{n−1}) \underbrace{s_{f(l_{f} +1)} ⋯ s_{f(k_{f})}}_{∈U} ,

wie gewünscht.

(3) Wir führen eine Induktion nach n. Der Induktionsanfang ist durch die Gruppe S̃_{2} = ⟨s_{1} : s_{1}^{2}⟩ ≃ C_{2} von Ordnung 2 gesichert.

Nach Induktionsvoraussetzung können wir |S̃_{n−1}| ≤ (n − 1)! annehmen. Als Bild von S̃_{n−1} unter φ ist damit auch |U| ≤ |S̃_{n−1}| ≤ (n − 1)!. Mit (3) ist [S̃_{n} : U] ≤ n. Somit können wir auf

|S̃_{n}| ≤ n · |U| ≤ n · (n − 1)! = n!

schließen.

(4) Es liegt ein Gruppenmorphismus vor, da (i, i + 1)^{2} = 1 stets, da [(i, i + 1), (j, j + 1)] = 1 für |i − j| ≥ 2, und da stets

(i, i + 1)(i + 1, i + 2)(i, i + 1) = (i, i + 2) = (i + 1, i + 2)(i, i + 1)(i + 1, i + 2) .

Mittels Konjugation sieht man zunächst, daß sämtliche Transpositionen in ⟨(1, 2), (2, 3), …, (n − 1, n)⟩ liegen. Also ist ⟨(1, 2), (2, 3), …, (n − 1, n)⟩ = S_{n}, und der angegebene Morphismus mithin surjektiv.

Da nun |S̃_{n}| ≤ |S_{n}| mit (3), folgt auch seine Bijektivität. In anderen Worten, es liegt ein Isomorphismus

[figure: S̃_{n}; ∼; S_{n}; s_{i}; (i, i + 1)]

vor.

(5) Wir konstruieren den gewünschten Automorphismus als Isomorphismus S̃_{n} \overline{}S_{n} mittels einer Komposition mit dem Isomorphismus aus (4), welchen wir etwas mißbräuchlich als Identifikation verwenden. Beachte, daß α((2, 3)) = α(^{(1,2,3,4,5,6)}(1, 2)) = ^{α((1,2,3,4,5,6))}α((1, 2)) = (2, 3)(1, 5)(4, 6) sein sollte, etc. Wir erhalten so, daß notwendigerweise folgende Bilder auftreten müssen.

\begin{aligned}α(s_{1}) & = & (1, 2)(3, 4)(5, 6) \\ α(s_{2}) & = & (2, 3)(1, 5)(4, 6) \\ α(s_{3}) & = & (1, 3)(2, 4)(5, 6) \\ α(s_{4}) & = & (1, 2)(3, 5)(4, 6) \\ α(s_{5}) & = & (2, 3)(1, 4)(5, 6) \end{aligned}

Nachrechnen der Relationen zeigt, daß dies möglich ist. In der Tat ist α(s_{i})^{2} = 1 stets, [α(s_{i}), α(s_{j})] = 1 falls |i − j| ≥ 2, sowie

\begin{aligned}α(s_{2})^{α(s_{1})} & = & (1, 4)(2, 6)(3, 5) & = & α(s_{1})^{α(s_{2})} \\ α(s_{3})^{α(s_{2})} & = & (1, 4)(2, 5)(3, 6) & = & α(s_{2})^{α(s_{3})} \\ α(s_{4})^{α(s_{3})} & = & (1, 6)(2, 5)(3, 4) & = & α(s_{3})^{α(s_{4})} \\ α(s_{5})^{α(s_{4})} & = & (1, 5)(2, 6)(3, 4) & = & α(s_{4})^{α(s_{5})} \end{aligned}

Mit 19 (5) enthält S_{6} mit Aufgabe 19 (5) nur die Normalteiler 1, A_{6} und S_{6}. In der Tat, ist N ⊴S_{6}, so ist N ∩A_{6}⊴A_{6}, und somit N = A_{6} oder N ∩ A_{6} = 1. Letzterenfalls ist N = 1 oder N ≃ C_{2}. Schließen wir noch N ≃ C_{2} aus. Das Element z ∈ N ∖ {1} wäre dann in Z(S_{6}), was mit der Lösung zu Aufgabe 6 nicht geht.

Nun enthält das Bild von α die drei verschiedenen Elemente 1, (1, 2)(3, 4)(5, 6) und (1, 2, 3)(4, 5), folgt mit dem Homomorphiesatz, daß Kern α = 1 gelten muß, und α damit ein Automorphismus ist.

Da α von der Konjugiertenklasse von (1, 2) in eine andere abbildet, ist α ∉ Inn S_{6}.

(6) Wir bestimmen hierzu die Elementarteiler der Matrix

(\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

deren Zeilen den Erzeugern s_{1}, …, s_{n−1} entsprechen, und deren Spalten den angeführten Relatoren. Beachte, daß die in den Relationen angeführten Kommutatoren unterschlagen werden dürfen, da sie Nullspalten lieferten.

Die Elementarteilerform ergibt sich zu

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Somit ist S_{5}/S′_{5} ≃ Z/2Z ≃ C_{2}.

Das hätte man auch wie folgt sehen können. Die Kommutatoruntergruppe von S_{5} ist wegen der Signumabbildung auf {−1, +1} enthalten in A_{5}, und darin a fortiori normal. Nun enthält A_{5} nach Vorlesung oder nach 19 (7) keine nichttrivialen Normalteiler. Die Kommutatoruntergruppe kann aber nicht gleich 1 sein, da S_{5} nicht abelsch ist. Es folgt S′_{5} = A_{5}, und somit S_{5}/S′_{5} ≃ C_{2}.

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