G. Nebe, M. Künzer

Algebra I, WS 04/05

Lösung 1

Aufgabe 5.

(1) Wir wollen zeigen, daß (ρ(a_{1}, …, a_{k})ρ^{−1})(b) = (ρ(a_{1}), …, ρ(a_{k}))(b) für alle b ∈ [1, n].

Falls b ∉ {ρ(a_{i}), …, ρ(a_{k})}, dann ist auch ρ^{−1}(b) ∉ {a_{1}, …, a_{k}}, und auf beiden Seiten steht einfach b.

Falls b = ρ(a_{i}) mit i ∈ [1, k − 1], so erhalten wir auf beiden Seiten ρ(a_{i+1}).

Falls b = ρ(a_{k}), so erhalten wir auf beiden Seiten ρ(a_{1}).

(2) Die Elemente von [1, n] in die Zykeln vorgegebener Länge zu verteilen, dafür gibt es n! Möglichkeiten. Jeden Zykel kann man zyklisch vertauschen, ohne die Permutation zu ändern, also müssen wir ∏_{m∈[1,n]} m^{u_{m}} abdividieren. Ferner kann man noch die Zykel gleicher Länge untereinander vertauschen, ohne die Permutation zu ändern, und somit müssen wir noch einen Faktor ∏_{m∈[1,n]} u_{m}! abdividieren. Die Länge der Konjugiertenklasse ergibt sich somit zu

\frac{n!}{∏_{m∈[1,n]} m^{u_{m}} · u_{m}!} .

(3) Wir listen die Konjugiertenklassen mit Repräsentant und Länge auf.

\begin{aligned}(1, 2, 3, 4, 5) & \frac{5!}{5^{1}·1!} & = & 24 \\ (1, 2, 3, 4)(5) & \frac{5!}{(4^{1}·1!)(1^{1}·1!)} & = & 30 \\ (1, 2, 3)(4, 5) & \frac{5!}{(3^{1}·1!)(2^{1}·1!)} & = & 20 \\ (1, 2, 3)(4)(5) & \frac{5!}{(3^{1}·1!)(1^{2}·2!)} & = & 20 \\ (1, 2)(3, 4)(5) & \frac{5!}{(2^{2}·2!)(1^{1}·1!)} & = & 15 \\ (1, 2)(3)(4)(5) & \frac{5!}{(2^{1}·1!)(1^{3}·3!)} & = & 10 \\ (1)(2)(3)(4)(5) & \frac{5!}{1^{5}·5!} & = & 1 \end{aligned}

Sei nochmals erwähnt, daß unter normalen Umständen die Zykel der Länge 1 nicht notiert werden.

(4) Wir geben jeweils ein Beispiel. Für Ordnung 4 und 8 gibt es noch weitere (isomorphe) Beispiele.

(Ordnung 4) Sei

V_{4} = ⟨(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4)⟩ = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} (die Kleinsche Vierergruppe) .

Wir erhalten N_{S_{4}}(V_{4}) = S_{4} (die Gruppe ist Vereinigung zweier Konjugiertenklassen!), C_{S_{4}}(V_{4}) = V_{4} (wegen V_{4} abelsch ist hier ⊇ klar), und Z(V_{4}) = V_{4} (wegen V_{4} abelsch).

(Ordnung 8) Sei

D_{8} = ⟨(1, 3), (1, 2, 3, 4)⟩ = {id, (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2), (1, 3), (1, 4)(2, 3), (2, 4), (1, 2)(3, 4)} (die Diedergruppe der Ordnung 8) .

Wir erhalten N_{S_{4}}(D_{8}) = D_{8} (da z.B. (1, 2) die Gruppe D_{8} nicht normalisiert, da also D_{8} ≤ N_{S_{4}}(D_{8}) < S_{4}), C_{S_{4}}(D_{8}) = ⟨(1, 3)(2, 4)⟩ (da C_{S_{4}}(D_{8}) ≤ N_{S_{4}}(D_{8}) und da ein Element eine Untergruppe zentralisiert genau dann, wenn es gewählte Erzeuger zentralisiert), sowie Z(D_{8}) = C_{S_{4}}(D_{8}) ∩ D_{8} = ⟨(1, 3)(2, 4)⟩.

(Ordnung 12) Sei

A_{4} = ⟨(1, 2, 3), (1, 2, 4)⟩
= {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 2), (1, 4, 3)}

(die alternierende Gruppe auf [1, 4])

Wir erhalten N_{S_{4}}(A_{4}) = S_{4} (die Gruppe ist Vereinigung dreier Konjugiertenklassen!), C_{S_{4}}(A_{4}) = 1 (da ein Element eine Untergruppe zentralisiert genau dann, wenn es gewählte Erzeuger zentralisiert, und da etwa (1, 2, 3) nur von ⟨(1, 2, 3)⟩ zentralisiert wird), und Z(A_{4}) = C_{S_{4}}(A_{4}) ∩ 1 = 1.

Aufgabe 6.

(1) Sei g ∈ G. Wir wollen zeigen, daß c(g) : G \overline{}G, x \overline{}^{g}x, ein Automorphismus von G ist. Zunächst wird (c(g))(xy) = ^{g}xy = g^{−1}xyg = g^{−1}xgg^{−1}yg = ^{g}x^{g}y = (c(g))(x)(c(g))(y) für x, y ∈ G, was zeigt, daß c(g) ein Morphismus von Gruppen ist. Ferner ist (c(g^{−1}) ∘ c(g))(x) = ^{g^{−1}}(^{g}x) = g^{−1}gxgg^{−1} = x, also c(g^{−1}) ∘ c(g) = id_{G}. Genauso folgt c(g) ∘ c(g^{−1}) = id_{G}. Mithin ist c(g) invertierbar, und insgesamt also ein Automorphismus.

(2) Wir wollen zeigen, daß c(gh) = c(g) ∘ c(h) für g, h ∈ G. In der Tat erhalten wir bei x ∈ G

(c(gh))(x) = ^{gh}x = ghxh^{−1}g^{−1} = ^{g}(^{h}x) = (c(g) ∘ c(h))(x) .

(3) Wir wollen zeigen, daß Kern c = Z(G). In der Tat ist

g ∈ Kern c ⟺ c(g) = id_{G} ⟺ ^{g}x = x für alle x ∈ G ⟺ g ∈ Z(G) .

(4) Wir behaupten, daß N_{Aut G}(Inn G) = Aut G, i.e. daß für alle α ∈ Aut G gilt, daß α ∘ (Inn G) ∘ α^{−1} = Inn G.

Zu ⊆. Sei β ∈ Inn G, i.e. sei ein g ∈ G gegeben mit β = c(g). Wir behaupten, daß α ∘ c(g) ∘ α^{−1} = c(α(g)) ist, und so insbesondere α ∘ c(g) ∘ α^{−1} ∈ Inn G folgt. Tatsächlich wird für x ∈ G

(α ∘ c(g) ∘ α^{−1})(x) = α(gα^{−1}(x)g^{−1}) = α(g)xα(g)^{−1} = (c(α(g)))(x) .

Zu ⊇. Da auch α^{−1} ∈ Aut G, folgt mit dem eben Gezeigten, daß α^{−1} ∘ (Inn G) ∘ α ⊆ Inn G, und also Inn G ⊆ α ∘ (Inn G) ∘ α^{−1}.

(5, 6, 7) Zeigen wir zunächst die Injektivität, und zwar gleich für alle S_{n} mit n ≥ 3.

Wir schreiben [a, b] := {z ∈ Z : a ≤ z ≤ b} für a, b ∈ Z.

Allgemein gilt für einen Morphismus von Gruppen K ^{\overline{}^{f}} H, daß er injektiv ist genau dann, wenn Kern f = \{1\} =: 1. Denn ist er injektiv, so ist |f^{−1}(1)| = 1. Und umgekehrt, ist Kern f = 1, und sind g, g′ ∈ G gegeben mit f(g) = f(g′), dann ist f(gg^{′−1}) = f(g)f(g′)^{−1} = 1, und also gg^{′−1} ∈ Kern f = 1, und somit g = g′.

Wir haben zu zeigen, daß Z(S_{n}) = 1. Sei σ ∈ S_{n}, und sei σ(i) = j, mit i, j ∈ [1, n], und i ≠ j. Wir haben zu zeigen, daß σ nicht im Zentrum von S_{n} liegt. Sei k ∈ [1, n] ∖ {i, j}, was wegen n ≥ 3 gefunden werden kann. Es wird

(^{(j,k)}σ)(i) = ((j, k) ∘ σ ∘ (j, k))(i) = (j, k)(σ(i)) = k ≠ σ(i) ,

und somit ^{(j,k)}σ ≠ σ.

Zeigen wir nun die Surjektivität von c in den einzelnen Fällen.

Wir machen dazu Gebrauch von folgenden beiden Tatsachen. Ist G eine endliche Gruppe, G \overline{}^{α}_{∼} G ein Automorphismus und g ∈ G, so haben g und α(g) dieselbe Ordnung, o(g) = o(α(g)). Ferner sind die Konjugiertenklassen gleich lang, genauer, es gibt eine Bijektion

[figure: ^{G}g; ∼; α(x)^{G}; x; α(x) .]

(5) Fall G = S_{3}. Es ist S_{3} = ⟨(1, 2), (1, 2, 3)⟩. Ein Automorphismus ist also durch die Bilder von (1, 2) und von (1, 2, 3) bestimmt. Mögliche Bilder von (1, 2) sind, wegen Ordnung 2, aus {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. Mögliche Bilder von (1, 2, 3) sind, wegen Ordnung 3, aus {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Nun folgt aus

6 = | Inn S_{3}| ≤ | Aut S_{3}| ≤ 2 · 3 = 6 ,

daß Inn S_{3} = Aut S_{3}.

(6) Fall G = S_{4}. Es ist S_{4} = ⟨(1, 2), (1, 2, 3, 4)⟩.

Konjugiertenklassen der Ordnung 2 in S_{4} haben wir die von (1, 2), welche 6 Elemente umfaßt, und die von (1, 2)(3, 4), welche 3 Elemente umfaßt. Somit bildet ein Automorphismus das Element (1, 2) auf ein Element von ^{S_{4}}(1, 2) ab. Konjugiertenklassen der Ordnung 4 in S_{4} haben wir die von (1, 2, 3, 4), welche 6 Elemente umfaßt. Somit bildet ein Automorphismus das Element (1, 2, 3, 4) auf ein Element von ^{S_{4}}(1, 2, 3, 4) ab. Damit haben wir maximal 36 Automorphismen. Da aber | Inn S_{4}| ein Teiler von | Aut S_{4}| ist, ist Inn S_{4} = Aut S_{4}.

(7) Fall G = S_{5}. Es ist S_{5} = ⟨(1, 2), (1, 2, 3, 4, 5)⟩. Konjugiertenklassen der Ordnung 2 in S_{4} haben wir die von (1, 2), welche 10 Elemente umfaßt, und die von (1, 2)(3, 4), welche 15 Elemente umfaßt. Somit bildet ein Automorphismus das Element (1, 2) auf ein Element von ^{S_{4}}(1, 2) ab. Konjugiertenklassen der Ordnung 5 in S_{5} haben wir die von (1, 2, 3, 4, 5), welche 24 Elemente umfaßt. Somit bildet ein Automorphismus das Element (1, 2, 3, 4, 5) auf ein Element von ^{S_{5}}(1, 2, 3, 4, 5) ab. An dieser Stelle wissen wir | Aut S_{5}| ≤ 240. Wir müssen also noch gewisse Wahlen für die Bilder von (1, 2) und von (1, 2, 3, 4, 5) ausschließen. Sei α ∈ Aut S_{5}, und sei α((1, 2)) = (a, b) mit a, b ∈ [1, 5], |{a, b}| = 2, sowie α((1, 2, 3, 4, 5)) = (a, d, e, f, g) mit d, e, f, g ∈ [1, 5], |{d, e, f, g}| = 4. Es ist b ∈ {d, e, f, g}. Das liefert 4 Fälle, von denen wir nun ein paar ausschließen wollen. Es ist ^{(1,2,3,4,5)^{2}}(1, 2) = (3, 4), welches mit (1, 2) vertauscht, und daher muß auch ^{α((1,2,3,4,5))^{2}}α((1, 2)) mit α((1, 2)) vertauschen. Nun ist aber

α((1,2,3,4,5))^{2}α((1, 2)) = ^{(a,e,g,d,f)}(a, b) = (e, h) ,

mit noch zu spezifizierendem h ∈ [1, 5]. Dieses Element (e, h) vertauscht nun mit α((1, 2)) = (a, b) genau dann, wenn {a, b} ∩ {e, h} = ∅. Dies schließt nun aus, daß h ∈ {a, b}, d.h. daß b = f. Ferner schließt es aus, daß e ∈ {a, b}, d.h. daß b = e. Bei beliebiger Wahl von (a, b), wofür wir 10 Möglichkeiten haben, verbleiben also noch 2 · 3 · 2 = 12 Möglichkeiten für das Bild von (1, 2, 3, 4), wobei der erste Faktor 2 die beiden Möglichkeiten aufzählt, b in den Zykel einzusortieren, nämlich an dritter oder an vierter Stelle. Also

120 = | Inn S_{5}| ≤ | Aut S_{5}| ≤ 10 · 12 = 120 ,

und somit Inn S_{5} = Aut S_{5}.

Und für S_{6} ? Und für S_{n} mit n ≥ 7 ?

(8) Wir können etwa G = C_{3} = ⟨a⟩ nehmen. Wegen Z(C_{3}) = C_{3} ≠ 1 ist c nicht injektiv. Da C_{3} \overline{}^{α}_{∼} C_{3}, x \overline{}x^{2} ein Automorphismus ist, welcher wegen C_{3} abelsch nicht inner ist, ist c auch nicht surjektiv.

Aufgabe 7.

(1) Aussage ist falsch. Z.B. ist in S_{3} auf der einen Seite |⟨(1, 2), (2, 3)⟩| = 6, aber auf der anderen Seite |⟨(1, 2)⟩|·|⟨(2, 3)⟩| = 4, und 6 ist kein Teiler von 4.

(2) Aussage ist richtig. In der Tat ist ein Automorphismus einer endlichen Gruppe G eine spezielle Bijektion von G in sich, und solche Bijektionen gibt es nur endlich viele, viz. |G|! Stück.

(3) Aussage ist richtig. Ist nämlich g ∈ G ein Element, für welches ^{g}v = v für alle v ∈ V gilt, so gilt dies a fortiori auch für alle v ∈ U ≤ V.

(4) Aussage ist falsch. Z.B. ist in S_{3} für U := ⟨(1, 2)⟩ ≤ S_{3} =: V der Normalisator von U gleich U, und der Normalisator von V gleich V, und somit ist letzterer keiner Untergruppe von ersterem.

(5) Aussage ist falsch. Betrachte etwa den Morphismus p von C_{4} = ⟨a⟩ auf C_{2} = ⟨b⟩, welcher a^{m} auf b^{m} schickt für m ∈ [0, 3]. Ein Morphismus i wie verlangt müßte also b entweder auf a oder aber auf a^{3} schicken. Dies hätte aber in beiden Fällen zur Folge, daß b^{2} von i auf a^{2} = a^{6} ≠ 1 geschickt würde, was wegen b^{2} = 1 nicht möglich ist.

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