G. Nebe, M. Künzer

Algebra I, WS 04/05

Lösung 0

Aufgabe 1.

Für n ∈ {0, 1, 2} ist |S_{n}| ∈ {1, 2}, und mithin S_{n} abelsch.

Für n ≥ 3 behaupten wir, daß S_{n} nicht abelsch ist. In der Tat wird darin

\begin{aligned}(1, 2)(2, 3) & = & (1, 2, 3) \\ (2, 3)(1, 2) & = & (1, 3, 2) . \end{aligned}

Aufgabe 2.

(1) Es wird ⟨(1, 2, 3, 4)⟩ = {id, (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2)}. Es ist o(σ) = |⟨σ⟩| = 4 und sgn σ = −1.

(2) Es wird

⟨(1, 2, 5, 6)(3, 4)(8, 7, 10)⟩ = {id, (1, 2, 5, 6)(3, 4)(8, 7, 10), (1, 5)(2, 6)(8, 10, 7), (1, 6, 5, 2)(3, 4), (8, 7, 10),
(1, 2, 5, 6)(3, 4)(8, 10, 7), (1, 5)(2, 6), (1, 6, 5, 2)(3, 4)(8, 7, 10), (8, 10, 7),
(1, 2, 5, 6)(3, 4), (1, 5)(2, 6)(8, 7, 10), (1, 6, 5, 2)(3, 4)(8, 10, 7)} .

Es ist o(σ) = |⟨σ⟩| = 12 und sgn σ = (−1) · (−1) · (+1) = +1.

(3) Zunächst schreiben wir σ = (1, 2)(2, 3) = (1, 2, 3) als Produkt disjunkter Zykeln. Dann erhalten wir ⟨(1, 2, 3)⟩ = {id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Es ist o(σ) = |⟨σ⟩| = 3 und sgn σ = +1. (Für das Signum hätte man keine disjunkten Zykeln benötigt.)

Aufgabe 3.

(1) Wir müssen bestimmen, wieviele reguläre Matrizen der Größe n × n mit Einträgen in K es gibt. In die erste Spalte können wir alle Vektoren bis auf den Nullvektor einstellen, haben dafür also q^{n} − q^{0} Möglichkeiten. In die zweite Spalte können wir alle Vektoren bis auf die im Erzeugnis der ersten Spalte einstellen, haben dafür also q^{n} − q^{1} Möglichkeiten. In die dritte Spalte können wir alle Vektoren bis auf die im Erzeugnis der ersten beiden Spalten einstellen, haben dafür also q^{n} − q^{2} Möglichkeiten. Und so fort. Insgesamt erhalten wir

| GL_{n}(K)| = (q^{n} − q^{0})(q^{n} − q^{1}) ⋯ (q^{n} − q^{n−1}) .

(Formal: man zeigt die Behauptung, es gebe ∏_{k=1}^{l}(q^{n} − q^{k}) Matrizen in K^{n×l} von Rang l mit Induktion nach l.)

(2) Sei G eine endliche Gruppe, und sei U ≤ G. Auf G können wir die Äquivalenzrelation x ∼ y :⟺ x ∈ yU einführen. Die Äquivalenzklasse von x ist dann gerade xU, und diese Teilmenge steht in Bijektion zu U, via U \overline{}xU, u \overline{}xu. Damit ist G in Äquivalenzklassen der Kardinalität |U| zerlegt, und damit ist |U| ein Teiler von |G|.

(3) Um nun zu zeigen, daß n!(q − 1)^{n} ein Teiler von | GL_{n}(K)| ist, genügt es mit (2), eine Untergruppe von GL_{n}(K) von Ordnung n!(q −1)^{n} zu finden. Wir können dazu etwa die Untergruppe der monomialen Matrizen verwenden.

Eine monomiale Matrix hat in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen Eintrag ungleich Null aus K. Eine monomiale Matrix ist regulär. Die Einheitsmatrix ist monomial. Sind A und B monomial, so auch AB^{−1}. Damit handelt es sich bei der Menge M der monomialen Matrizen um eine Untergruppe von GL_{n}(K).

Für die Wahl der Positionen der Einträge ungleich 0 haben wir n! Möglichkeiten, und für jeden der dieser n Einträge dann noch q − 1 Möglichkeiten. Somit ergibt sich in der Tat |M| = n! · (q − 1)^{n}.

Gilt für q ∈ Z beliebig, daß n! · (q − 1)^{n} ein Teiler von (q^{n} − q^{0})(q^{n} − q^{1}) ⋯ (q^{n} − q^{n−1}) ist?

Aufgabe 4.

(1) Das Minimalpolynom einer Matrix von Ordnung 7 teilt X^{7} − 1. Da wir in F_{2}[X] die Zerlegung

X^{7} − 1 = (X + 1)(X^{3} + X + 1)(X^{3} + X^{2} + 1)

in irreduzible Faktoren besitzen, und das Minimalpolynom X + 1 die Ordnung 1 nach sich zöge, erhalten wir als mögliche Minimalpolynome X^{3} + X + 1 und X^{3} + X^{2} + 1. Die rationale Normalformen, die Ordnung 3 haben, sind folglich

(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Dies sind dann Repräsentanten der Konjugiertenklassen.

(2) Zunächst bemerken wir, daß jede der angegebenen Potenzen von Ordnung 7 ist, und damit in einer der beiden unter (1) angeführten Klassen liegt.

Mit z.B. A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) folgt aus A^{3} + A + E = 0 durch Multiplikation mit A^{−3}, daß E + A^{−2} + A^{−3} = 0. Somit

ist das Minimalpolynom von A^{6} = A^{−1} = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) gegeben durch X^{3} + X^{2} + 1, und folglich sind A und A^{6} nicht konjugiert.

(Die Klasseneinteilung der Potenzen erfolgt in {A, A^{2}, A^{4}} und {A^{−1}, A^{−2}, A^{−4}} = {A^{6}, A^{5}, A^{3}}, genauso für die andere in (1) angegebene Matrix.)

(3) Das Minimalpolynom einer Matrix, welche A^{8} = 1 erfüllt, teilt X^{8} − 1 = (X + 1)^{8}. Da das Minimalpolynom von Grad ≤ 3 ist, muß es also auch X^{4} − 1 teilen. Damit erfüllt diese Matrix auch A^{4} = 1, und ist somit nicht von Grad 8.

(4) Mit \{(\begin{matrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) : a, b, c ∈ F_{2}\} ≤ G gibt es aber sehr wohl eine Untergruppe der Ordnung 8 – notwendigerweise nicht zyklisch.

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