Beispiel. Sei R = Z. Wir wollen Kern, Bild und Cokern von (X ^{\overline{}^{u}} Y) = (Z/(3) ⊕ Z/(27) ^{\overline{}^{(\begin{matrix}3 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix})}} Z/(9) ⊕ Z/(9)) berechnen. Wir begeben uns in folgende Situation.

\xymatrix{Z^{2} \ar[r]^{^{(\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 27 \end{matrix})}} & Z^{2} \ar[r]^{^{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \ar[d]^{_{(\begin{matrix}3 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix})}} & Z/(3) ⊕ Z/(27) \ar[d]^{_{(\begin{matrix}3 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix})}} \\ Z^{2} \ar[r]^{_{(\begin{matrix}9 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix})}} & Z^{2} \ar[r]^{_{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} & Z/(9) ⊕ Z/(9)}

(vgl. das Diagramm aus Aufgabe 46, dessen Bezeichnungen wir verwenden werden). Der Cokern von u berechnet sich gemäß 46 (1) als der Cokern von (û^{q′}), i.e. als der Cokern von

\underbrace{Z^{4}}_{= F ⊕ G′} ^{\overline{}^{\overbrace{(\begin{matrix}3 & 1 & 9 & 0 \\ −3 & 2 & 0 & 9 \end{matrix})}^{=:A}}} \underbrace{Z^{2}}_{= G} .

Zur Bestimmung von T mit SAT diagonal setzen wir die Einheitsmatrix unter A und führen Spaltentransformationen für die zusammengesetzte Matrix aus. Der untere Teil der entstehenden Matrix enthält gerade das gesuchte T. Wir rechnen.

(\begin{matrix}3 & 1 & 9 & 0 \\ −3 & 2 & 0 & 9 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ⇝ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −9 & −18 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & −3 & −9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ⇝ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & −3 & −9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}) .

Die Spalten unterhalb der Nullspalten der resultierenden Elementarteilerform, d.h. die Spalten 3 und 4, bilden den Kern von A in Matrixform. Dessen Projektion auf F ist also, in Matrixform, durch (\begin{matrix}1 & 0 \\ −3 & −9 \end{matrix}) gegeben (i.e. die Spalten (\begin{matrix}1 \\ −3 \end{matrix}) und (\begin{matrix}0 \\ −9 \end{matrix}) erzeugen diesen Kern als Teilmodul von F = Z^{2}). Dazu gleich. Zunächst ergibt sich der Cokern zu

Cokern(u) ≃ Cokern ((\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \end{matrix})) ≃ Z/(9) .

Für den Kern und das Bild benötigen nun wir die in 46 (2) hergeleiteten Einbettungen

\underbrace{Z^{2}}_{= p′(F′)} ^{\overline{}^{C}} \underbrace{Z^{2}}_{= Kern(u∘p)} ^{\overline{}^{(\begin{matrix}1 & 0 \\ −3 & −9 \end{matrix})}} \underbrace{Z^{2}}_{= F} ,

mit der Komposition (\begin{matrix}1 & 0 \\ −3 & −9 \end{matrix}) C = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 27 \end{matrix}). Eine Rechnung in GL_{2}(Q) gibt C = (\begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & −3 \end{matrix}). (Sollte die Rechnung hier ein nicht ganzzahliges C ergeben, so enthält sie einen Fehler !) Das Bild von u berechnet sich nun gemäß 46 (3) als der Cokern von

\underbrace{Z^{2}}_{= Kern(u∘p)} ^{\overline{}^{(\begin{matrix}1 & 0 \\ −3 & −9 \end{matrix})}} \underbrace{Z^{2}}_{= F} .

über die Elementarteilerform zu

Bild(u) ≃ Z/(9) .

Der Kern von u berechnet sich gemäß 46 (3) als der Cokern von

\underbrace{Z^{2}}_{= p′(F′)} ^{\overline{}^{(\begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & −3 \end{matrix})}} \underbrace{Z^{2}}_{= Kern(u∘p)} .

über die Elementarteilerform zu

Kern(u) ≃ Z/(9) .

Probe. Zur Probe kann man bei als Mengen endlichen Moduln X und Y verifizieren, daß

|X| = | Kern(u)| · |Bild(u)|

und daß

|Y | = |Bild(u)| · | Cokern(u)|

Beides trifft hier zu, ersteres wegen 3^{4} = 3^{2} · 3^{2}, zweiteres wegen 3^{4} = 3^{2} · 3^{2}.

www2.math.rwth-aachen.de:8008