Beispiel. Sei K ein Körper, sei R := {f(X) ∈ K[X] : f(X) = ∑_{i} a_{i}X^{i} mit a_{1} = 0} ⊆ K[X]. Dies ist ein Teilring.

Es ist X^{2} − 1 ein irreduzibles Element, da jede Faktorisierung dieses Elements in R in zwei Faktoren wenigstens einen Faktor von Grad 2 beinhaltet, welcher somit assoziiert zu X^{2} − 1 zu sein hat.

Wir behaupten, daß X^{2} − 1 nicht prim ist. Es teilt X^{2} − 1 das Produkt der Faktoren (X + 1)(X^{2} + X − 1) = X^{3} + 2X^{2} − 1 ∈ R und (X − 1)(−X^{2} + X + 1) = −X^{3} − 2X^{2} − 1 ∈ R, aber keinen der beiden Faktoren.

(Mein Fehler war, nicht darauf geachtet zu haben, daß die Faktoren in R liegen müssen, um ein Gegenbeispiel zu ‘prim’ zu haben.)

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