G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 16.12.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 9

Aufgabe 36 (3 Punkte).

Sei R ein Integritätsbereich, sei S ⊆ R eine multiplikative Teilmenge und sei R ^{\overline{}^{f}} T ein Ringmorphismus in einen kommutativen Ring T mit f(S) ⊆ T^{∗}. Betrachte R als Teilring von R_{S}, d.h. identifiziere x mit \frac{x}{1}

für x ∈ R. Zeige, daß es genau einen Ringmorphismus R_{S} ^{\overline{}^{f̂}} T gibt mit f̂|_{R} = f.

Aufgabe 37 (6 Punkte).

(1) Sei R ein Integritätsbereich, und sei 𝔭 ⊆ R ein Ideal. Zeige, daß R ∖ 𝔭 genau dann eine multiplikative Teilmenge von R ist, wenn 𝔭 ein Primideal von R ist. Wir schreiben die Lokalisierung daran auch kurz R_{𝔭} := R_{R∖𝔭}.

(2) Für ein Primideal 𝔭 von R sei 𝔭_{𝔭} := \{\frac{a}{s} ∈ Quot(R) | a ∈ 𝔭, s ∈ R ∖ 𝔭\}. Zeige, daß 𝔭_{𝔭} ein Ideal von R_{𝔭}

ist, und daß

R_{𝔭}/𝔭_{𝔭} ≃ Quot(R/𝔭) .

(3) Zeige, daß 𝔭_{𝔭} das einzige maximale Ideal von R_{𝔭} ist.

Aufgabe 38 (6+3 Punkte).

Sei p prim. Betrachte den Ring Z_{(p)} (Schreibweise vgl. 37 (1)). Die Abbildung

[figure: Z_{(p)} ∖ {0}; ^{v^{p}}; Z_{≥0}; x; max{n ≥ 0 | x ∈ (p^{n}) ⊆ Z_{(p)}}]

heiße Bewertung bei p (engl. valuation).

(1) Zeige folgende Eigenschaften.

(i) Es ist v_{p}(xy) = v_{p}(x) + v_{p}(y) für alle x, y ∈ Z_{(p)} ∖ {0}.

(ii) Es ist v_{p}(x+y) ≥ min(v_{p}(x), v_{p}(y)) für alle x, y ∈ Z_{(p)} ∖{0}, mit Gleichheit, falls v_{p}(x) ≠ v_{p}(y).

(iii) Es sind x und y aus Z_{(p)} ∖ {0} genau dann assoziiert, wenn v_{p}(x) = v_{p}(y).

(2) Zeige, daß jedes Ideal ungleich 0 von Z_{(p)} von der Form (p^{n}) ist für ein n ≥ 0.

Aufgabe 39 (4 Punkte). Seien R und S kommutative Ringe, und sei R ^{\overline{}^{f}} S ein Morphismus von Ringen. Zeige oder widerlege.

(1) Sei 𝔭 ⊆ S ein Primideal. Es ist f^{−1}(𝔭) ⊆ R Primideal.

(2) Sei 𝔪 ⊆ S ein maximales Ideal. Es ist f^{−1}(𝔪) ⊆ R maximal.

(3) Sei p prim, und sei R eine kommutative F_{p}-Algebra. Sei R ^{\overline{}^{F}} R, x \overline{}F(x) := x^{p}.

Es ist F ein Morphismus von Ringen (F wie Frobenius).

(4) Seien R und F wie in (3), und R dazuhin ein Körper. Es ist F ein Automorphismus von Ringen.

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