G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 02.12.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 7

Aufgabe 27 (9 Punkte).

Seien p und q Primzahlen mit p ≠ q.

(1) Zeige, daß Gruppen der Ordnung pq auflösbar sind.

(2) Zeige, daß Gruppen der Ordnung p^{2}q auflösbar sind.

(3) Zeige, daß Gruppen der Ordnung p^{2}q^{2} auflösbar sind.

(Hinweis: Konstruiere Normalteiler mit Sylow.)

Aufgabe 28 (12+3 Punkte).

(1) Zeige, daß eine einfache nichtabelsche Gruppe von Ordnung ≤ 80 isomorph zu A_{5} ist. (Hinweis: Verwende 18 (8). Das Argument für 18 (3) kann darüber hinaus von Nutzen sein. Verwende auch Aufgabe 27, um Fälle auszuschließen.)

(2) Zeige, daß eine Gruppe von Ordnung ≤ 80 auflösbar oder isomorph zu A_{5} ist. (Hinweis: Gegenbeispiel minimaler Ordnung mit (1) zu Widerspruch führen.)

Aufgabe 29 (8 Punkte).

Sei p ≥ 3 prim, und sei G eine nichtabelsche Gruppe von Ordnung p^{3}.

(1) Zeige, daß Z(G) ≃ C_{p}. Bestimme die Kommutatorreihe von G. (Hinweis: Betrachte G/Z(G).)

(2) Falls alle Elemente in G ∖ {1} Ordnung p haben, so zeige unter Verwendung von (1), daß G einen Normalteiler isomorph zu C_{p} × C_{p} hat, welcher ein Komplement in G besitzt.

(3) Falls ein Element b in G die Ordnung p^{2} besitzt, so zeige, daß ⟨b⟩ ein Komplement in G hat. (Hinweis: Nehme an, es habe ⟨b⟩ kein Komplement, und nehme ein Element c in G∖⟨b⟩, notwendig von Ordnung p^{2}, so daß wir b^{p} = c^{p} annehmen können. Es ist b^{p} ∈ Z(G), da G von b und c erzeugt wird. Es ist c^{−1}bc = b^{k} für ein k ∈ Z. Da [b, c] ∈ Z(G) mit (1), folgt k ≡_{p} 1. Zeige, daß |⟨bc^{−1}⟩| = p. Das Komplement ⟨bc^{−1}⟩ gibt den Widerspruch.)

(4) Zeige, daß G zu ⟨z, x, y | z^{p}, x^{p}, [z, x], ^{y}z · z^{−1}, ^{y}x · (xz)^{−1}⟩ ( ≃ (C_{p} × C_{p}) ⋊ C_{p} ) oder zu ⟨b, x | b^{p^{2}}, x^{p}, ^{x}b · b^{−(1+p)}⟩ ( ≃ C_{p^{2}} ⋊ C_{p} ) isomorph ist.

Aufgabe 30 (2 Punkte). Zeige oder widerlege.

(1) Sind G und H zwei Gruppen derart, daß eine Bijektion von Mengen G ^{\overline{}^{φ}} H existiert mit |⟨φ(g)⟩| = |⟨g⟩| für alle g ∈ G (i.e. φ ordnungserhaltend), dann sind G und H isomorph. (Hinweis: Vergleiche eine Gruppe in Aufgabe 29 mit einer abelschen Gruppe.)

(2) Besitzt eine Gruppe G eine endliche Präsentation mit weniger Relatoren als Erzeugern, so ist G unendlich.

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