G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 25.11.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 6

Aufgabe 25 (18 Punkte).

(a) Gib für die Erzeuger x, y der Gruppe G Relatoren f_{1}(g, h), …, f_{s}(g, h) an derart, daß wir einen Isomorphismus

[figure: G̃ := ⟨g, h : f_{1}(g, h), …, f_{s}(g, h)⟩; ∼; G; g; x; h; y]

erhalten. (Hinweis: Sei F := ⟨g, h⟩ die freie Gruppe. Wende, falls erforderlich, den verfeinerten Bahnenalgorithmus auf die F -Menge G an, mit basis (1). Die Erzeuger des Stabilisators von 1 geben die Relatoren. Vereinfache die Relatorenmenge noch, falls möglich – die gefundenen Erzeuger erzeugen den Kern Stab_{F} (1) von F \overline{}G sogar als Untergruppe !)

(b) Berechne unter Verwendung von (a) den Isomorphietyp der endlichen abelschen Gruppe G/G′.

(c) Berechne | Aut G |. Gib den injektiven Gruppenmorphismus Aut G [figure] S_{n} an, für geeignetes n, der sich aus der Operation von Aut G auf (Aut G)x ∪ (Aut G)y ergibt. (Hinweis: Zunächst folgt aus G̃ ≃ G, daß Aut G̃ ≃ Aut G, wir können also G durch eine isomorphe Kopie G̃ ersetzen. Ein Automorphismus einer durch Erzeuger und Relatoren gegebenen endlichen Gruppe ist durch die Bilder der Erzeuger gegeben, falls diese Bilder dieselben Relationen erfüllen und ebenfalls wieder die Gruppe erzeugen.)

Es sind (a), (b) und (c) in den folgenden Fällen zu bearbeiten.

(1) G = D_{8} = ⟨\underbrace{(1, 2)(3, 4)}_{=: x}, \underbrace{(1, 3)}_{=: y}⟩ ≤ S_{4}.

(2) G = Q_{8} = ⟨\underbrace{(\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix})}_{=: x}, \underbrace{(\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}_{=: y}⟩ ≤ SL_{2}(C). Standardbezeichnung: I := g, J := h.

(3) G = ⟨\underbrace{(1, 2, 3, 4)}_{=: x}, \underbrace{(5, 6, 7, 8)}_{=: y}⟩ ≤ S_{8}.

Aufgabe 26 (12 Punkte). Sei für n ≥ 2

S̃_{n} := ⟨s_{1}, …, s_{n−1} | \begin{matrix}s_{i}^{2} & für i ∈ [1, n − 1] \\ [s_{i}, s_{j}] & für i, j ∈ [1, n − 1] mit |i − j| ≥ 2 \\ s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1} & für i ∈ [1, n − 2] \end{matrix} ⟩ .

(1) Zeige, daß durch S̃_{n−1} ^{\overline{}^{φ}} S̃_{n}, s_{i} \overline{}s_{i} für i ∈ [1, n − 2], ein Gruppenmorphismus definiert ist.

(2) Sei U = φ(S̃_{n−1}), mit φ aus (1). Zeige, daß S̃_{n} = U ∪ ⋃_{t∈[1,n−1]} s_{t}s_{t+1} ⋯ s_{n−1}U . (Hinweis: Betrachte in einem Wort in den s_{i} den ersten Buchstaben s_{n−1} von rechts, falls vorhanden. Dessen Position sei die Leitposition. Betrachte nun unter allen Wörtern, die dasselbe Element darstellen, eines mit minimaler Leitposition. Dieses ist dann von der Form s_{t}s_{t+1} ⋯ s_{n−1}u mit u ∈ U.)

(3) Es ist |S̃_{n}| ≤ n!. (Hinweis: Mit (2) ist |S̃_{n}| ≤ n · |U| ≤ n · |S̃_{n−1}|.)

(4) Zeige, daß durch S̃_{n} \overline{}S_{n}, s_{i} \overline{}(i, i + 1) ein surjektiver Gruppenmorphismus definiert ist. Folgere mit (3), daß ein Isomorphismus vorliegt.

(5) Zeige, daß es einen Automorphismus α von S_{6} mit α((1, 2)) = (1, 2)(3, 4)(5, 6) und α((1, 2, 3, 4, 5, 6)) = (1, 2, 3)(4, 5) gibt, der nicht in Inn S_{6} liegt. (Hinweis: Berechne zuerst α((i, i + 1)) für i ∈ [2, 5] und wende dann (4) an.)

(6) Berechne mit (4) den Isomorphietyp der abelschen Gruppe S_{5}/S′_{5}.

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