G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 18.11.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 5

Aufgabe 20 (9 Punkte). Sei G eine Gruppe. Bestimme alle möglichen Weisen, G nichttrivial als semidirektes Produkt zu schreiben. Dabei heißen G ⋊ 1 und 1 ⋊ G trivial. Betrachte hierzu alle Normalteiler von G. Falls ein Normalteiler kein Komplement hat, so begründe dies. Ansonsten gebe ein Komplement an.

(1) G = S_{3}.

(2) G = Q_{8}.

(3) G = S_{4}.

Aufgabe 21 (2+2+1 Punkte). Sei K ein Körper mit |K| = p^{a} Elementen, a ≥ 1, p prim, und sei n ≥ 1. Betrachten wir K^{n} als additive abelsche Gruppe, so haben wir den Inklusionsmorphismus GL_{n}(K) [figure] Aut(K^{n}), mittels welchem ein semidirektes Produkt Aff_{n}(K) := K^{n} ⋊ GL_{n}(K) definiert ist, genannt die affine Gruppe. Kurz: Aff_{n}(K) ist das semidirekte Produkt bezüglich der natürlichen Operation von GL_{n}(K) auf K^{n}.

(1) Bestimme die Ordnung |K^{n} ⋊ GL_{n}(K)| und gib eine p-Sylowgruppe von K^{n} ⋊ GL_{n}(K) an.

(2) Berechne Z(K^{n} ⋊ GL_{n}(K)).

(3) Sei n ≥ 3. Berechne (K^{n} ⋊ GL_{n}(K))′.

Aufgabe 22 (3+2 Punkte). Sei p prim.

(1) Bestimme alle Gruppen von Ordnung p^{2} bis auf Isomorphie.

(2) Bestimme alle Gruppen von Ordnung 12 bis auf Isomorphie.

Man vergesse den Nachweis nicht, daß die gefundenen Gruppen paarweise nichtisomorph sind. Aufgabe 23 (6 Punkte). Sei GL_{2}(Z/16Z) := \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ (Z/16Z)^{2×2} : det (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) invertierbar in Z/16Z\}. (In der Linearen Algebra wurde Z/16Z = Z_{16} geschrieben.)

(1) Gib einen surjektiven Gruppenmorphismus von GL_{2}(Z/16Z) nach GL_{2}(F_{2}) an. Berechne seinen Kern N.

(2) Bestimme mit (1) die Ordnung von GL_{2}(Z/16Z).

(3) Setze N_{(0)} := N und N_{(k+1)} := N_{(k)}/Z(N_{(k)}). Berechne |N_{(k)}| für k ≥ 0.

Aufgabe 24 (7 Punkte). Sei G eine endliche Gruppe. Zeige oder widerlege.

(1) Ist G/Z(G) abelsch, so ist G abelsch.

(2) Ist G ^{\overline{}^{f}} H ein Morphismus von Gruppen, so ist f(G′) = f(G)′.

(3) Ist G ^{\overline{}^{f}} H ein Morphismus von Gruppen, so ist f(Z(G)) = Z(f(G)).

(4) Es gibt eine einfache Gruppe von Ordnung 16.

(5) Sind alle Sylowuntergruppen von G normal, so ist G direktes Produkt ihrer Sylowuntergruppen.

(6) Seien H, K ≤ G, und sei HK/K := {hK : h ∈ H} ⊆ G/K. Es gibt eine Bijektion von H/(H ∩ K) nach HK/K.

(7) Alle Komplemente eines Normalteilers in G sind konjugiert in G.

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