G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 11.11.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 4

Aufgabe 16 (9 Punkte).

(1) Sei G eine Gruppe von Ordnung 77. Zeige, daß G ≃ C_{77}.

(2) Sei G eine nichtabelsche Gruppe von Ordnung 14. Zeige, daß G ≃ ⟨(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (1, 6)(2, 5)(3, 4)⟩ ≤ S_{7}.

(3) Sei G eine Gruppe von Ordnung 105. Zeige, daß G einen Normalteiler von Ordnung 35 enthält. Aufgabe 17 (3+3+1+1 Punkte). Sei G eine endliche Gruppe. Bestimme für jeden Primteiler p der Gruppenordnung |G| je eine p-Sylowgruppe von G.

(1) G = S_{4}.

(2) G = S_{10}.

(3) G = GL_{2}(F_{11}).

(4) G = GL_{3}(F_{5}).

Aufgabe 18 (8 Punkte). Sei G eine endliche Gruppe. Sei H eine einfache Gruppe von Ordnung |H| = 60.

(1) Sei p ein Primteiler von |G|. Zeige, daß die Anzahl der p-Sylowgruppen genau dann gleich 1 ist, wenn es eine normale p-Sylowgruppe gibt.

(2) Ist U ≤ G mit Index [G : U], so gibt es einen Normalteiler N ⊴ G mit N ≤ U und [G : N] einem Teiler von [G : U]!.

(3) Zeige: Es gibt keine transitive H-Menge M mit |M| ∈ {2, 3, 4}.

(4) Zeige: Gibt es eine transitive H-Menge M mit |M| = 5, dann ist H ≃ A_{5}. (Hinweis: Warum ist der induzierte Morphismus H ^{\overline{}^{f}} S_{5} injektiv? Betrachte dann Komposition mit Signum, um f(H) = A_{5} nachzuweisen.)

(5) Bestimme die Anzahl der 5-Sylowgruppen in H.

(6) Bestimme die Anzahl der 3-Sylowgruppen in H. (Hinweis: Verwende (3), um die mögliche Anzahl 4 auszuschließen.)

(7) Führe die Annahme, die Anzahl der 2-Sylowgruppen in H sei 15, zu einem Widerspruch. (Hinweis: Warum muß es dann ein Element x ∈ H ∖ {1} geben, welches in zwei verschiedenen 2-Sylowgruppen liegt? Wieviele Elemente von Ordnung 2 oder 4 hätte man ansonsten? Wieso folgt daraus |^{H}x| ∈ {3, 5}?)

(8) Zeige, daß H ≃ A_{5}. Aufgabe 19 (4 Punkte). Sei n ≥ 1, und sei N ⊴ A_{n} ein Normalteiler, für welchen sogar noch N ⊴ S_{n} gelte. Ein Dreierzykel in S_{n} ist ein Element der Form (a, b, c). (Hinweis: Bilde in (2), (3), (4) ein Element σ^{−1} ^{τ}σ mit τ geeignet.)

(1) Falls N einen Dreierzykel enthält, so zeige, daß N = A_{n}. (Hinweis: Zerlege σ ∈ A_{n} in ein Produkt von Transpositionen.)

(2) Enthalte N ein Element σ, welches in disjunkter Zykeldarstellung einen Zykel der Länge ≥ 3 aufweist. Zeige, daß N einen Dreierzykel enthält.

(3) Enthalte N ein Element σ, welches in disjunkter Zykelschreibweise wenigstens 3 Zykel der Länge 2 aufweist. Zeige, daß N einen Dreierzykel enthält.

(4) Sei n ≥ 5. Enthalte N ein Element der Form σ = (a, b)(c, d). Zeige, daß N einen Dreierzykel enthält.

(5) Zeige, daß für n ≥ 5 entweder N = 1 oder N = A_{n} gilt.

(6) Sei n ≥ 5. Sei M ⊴ A_{n}. Zeige, daß M ⊴ S_{n} ist. (Hinweis: Wir können annehmen, daß M nichttrivial ist. Wäre nun M ⊴ A_{n}, aber M ⋬ S_{n}, warum wäre dann M ∩ ^{(1,2)}M = 1 und M · ^{(1,2)}M = A_{n}? Betrachte dann M ∩ C_{A_{n}}((1, 2)).)

(7) Zeige, daß für n ≥ 5 die alternierende Gruppe A_{n} einfach ist.

(8) Finde für n = 4 ein Gegenbeispiel für die Aussage in (4).

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