G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 04.11.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 3

Aufgabe 13 ((3+1+2)+(3+1+2+2)+(2+2) Punkte).

(1) Sei G = ⟨(1, 2, 3), (3, 4, 5)⟩ ≤ S_{5}.

(a) Bestimme eine base und strong generators für G.

(b) Bestimme |G|.

(c) Ist (1, 3, 5) ∈ G ? Falls ja, stelle es als Produkt in den angegebenen Erzeugern von G dar.

(2) Sei G = ⟨(1, 2, 3, 4, 5, 6), (1, 4)⟩ ≤ S_{6}.

(a) Bestimme eine base und strong generators für G.

(b) Bestimme |G|.

(c) Ist (1, 2) ∈ G ? Falls ja, stelle es als Produkt in den angegebenen Erzeugern von G dar.

(d) Berechne Erzeuger von Z(G), sowie |Z(G)|. (Hinweis: Bahnenalgorithmus für Konjugationsoperation von G auf G.)

(3) Sei G = ⟨(\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})⟩ ≤ GL_{2}(F_{5}).

(a) Berechne |G|.

(b) Berechne Erzeuger von Z(G), sowie |Z(G)|.

Aufgabe 14 (8 Punkte). Sei m ≥ 0, sei A_{m} die Menge der Abbildungen von [1, 6] nach [1, m], und sei A′_{m} ⊆ A_{m} die Teilmenge der surjektiven Abbildungen.

(1) Wir interpretieren A_{m} als die Menge der Perlenfärbungen der 6 Perlen einer Kette mit m möglichen Farben. Auf A_{m} operiere dementsprechend G := ⟨(1, 2, 3, 4, 5, 6), (1, 6)(2, 5)(3, 4)⟩ ≤ S_{6} via ρ·f := f ∘ρ^{−1}, wobei ρ ∈ G und f ∈ A_{m}. Zwei Perlenfärbungen f und f′ sind bis auf Perlenkettenbewegung als gleich anzusehen, falls sie in derselben G-Bahn von A_{m} liegen. Bestimme die Anzahl dieser G-Bahnen.

(2) Wir interpretieren A′_{m} als die Menge der Seitenfärbungen eines Würfels mit m möglichen Farben, mit der Zusatzbedingung, daß jede mögliche Farbe wenigstens einmal auftreten soll. Auf A′_{m} operiert dementsprechend H := ⟨(1, 2, 6, 5), (1, 3, 6, 4)⟩ ≤ S_{6} via ρ · f := f ∘ ρ^{−1}, wobei ρ ∈ H und f ∈ A′_{m}. Zwei Würfelfärbungen f und f′ sind bis auf Würfeldrehung als gleich anzusehen, falls sie in derselben H-Bahn von A′_{m} liegen. Bestimme die Anzahl dieser H-Bahnen.

[figure: 1; 6; 2; 5; 3; 4]

Aufgabe 15 (5 Punkte). Seien G eine endliche Gruppe und M eine endliche G-Menge. Ist x ∈ G, so schreiben wir Fix_{M}(x) := {m ∈ M : xm = m} für die Menge der Fixpunkte von x. Wir schreiben ConjCl(G) für ein Repräsentantensystem der Konjugiertenklassen von G. Sei ferner M ×M eine G-Menge via g(m, n) := (gm, gn) für g ∈ G und (m, n) ∈ M × M. Zeige oder widerlege.

(1) Sind x, g ∈ G, so ist | Fix_{M}(x)| = | Fix_{M}(^{g}x)|.

(2) Es ist |G\M| = ∑_{x∈ConjCl(G)} \frac{| Fix_{M} (x)|}{|C_{G}(x)|}.

(3) Es ist ∑_{x∈G} |{gU ∈ G/U : ^{g^{−1}}x ∈ U}| = |G|.

(4) Ist M eine transitive G-Menge, so besteht M × M aus |M| Bahnen unter G.

(5) Es besteht M × M aus \frac{1}{|G|} ∑_{x∈G} | Fix_{M}(x)|^{2} Bahnen unter |G|.

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