G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 28.10.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 2

Aufgabe 8 (2+1+1 Punkte). Sei G eine endliche Gruppe, und schreibe n := |G|.

(1) Zeige, daß G isomorph zu einer Untergruppe von S_{n} ist. (Satz von Cayley.)

(2) Sei A_{m} := Kern(S_{m} ^{\overline{}^{sgn}} \{−1, +1\}) die alternierende Gruppe, wobei m ≥ 0.

Zeige, daß G isomorph zu einer Untergruppe von A_{2n} ist.

(3) Gib ein Beispiel für eine Gruppe G, welche nicht isomorph zu einer Untergruppe von A_{2n−1} ist.

Aufgabe 9 (12 Punkte). Sei D_{8} := ⟨(1, 2, 3, 4), (1, 3)⟩ ≤ S_{4}. Seien darin C_{4} := ⟨(1, 2, 3, 4)⟩ und C_{2} := ⟨(1, 3)⟩. Die S_{4}-Menge S_{4}/C_{4} wird durch Einschränkung zu einer A_{4}-Menge, zu einer D_{8}-Menge, zu einer C_{4}-Menge resp. zu einer C_{2}-Menge. Gib vermittels Bahnenalgorithmus auf S_{4}/C_{4} die Bahnen an

(1) der C_{2}-Operation,

(2) der C_{4}-Operation,

(3) der D_{8}-Operation und

(4) der A_{4}-Operation. Aufgabe 10 (4 Punkte). Sei G eine endliche Gruppe, und sei p ein Primteiler von |G|. Betrachte

M := {(g_{1}, …, g_{p}) : g_{i} ∈ G, g_{1} ⋯ g_{p} = 1} .

Sei C_{p} = ⟨a⟩ eine zyklische Gruppe von Ordnung p.

(1) Zeige, daß C_{p} via a · (g_{1}, …, g_{p}) := (g_{p}, g_{1}, …, g_{p−1}) auf M operiert.

(2) Bestimme die Menge Fix_{C_{p}}(M) := {m ∈ M : am = m} der Fixpunkte dieser Operation. Welche Länge haben die Bahnen, die keinen Fixpunkt enthalten?

(3) Zeige, daß p | | Fix_{C_{p}}(M)|.

(4) Zeige, daß es in G wenigstens ein Element der Ordnung p gibt. (Satz von Cauchy.)

Aufgabe 11 (2+2+1+1 Punkte). Sei K ein endlicher Körper aus q Elementen. Sei n ≥ 1 und m ∈ [0, n].

(1) Berechne die Länge der Konjugiertenklassen von (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) und von (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) in GL_{2}(K).

(2) Berechne die Länge der Konjugiertenklasse von (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) in GL_{2}(K). (Hinweis: Fallunterscheidung je nach Nullstellen von X^{2} − X − 1 in K.)

(3) Wieviele m-dimensionale Unterräume gibt es in K^{n}? (Hinweis: Betrachte die Menge der m-dimensionalen Unterräume von K^{n} als GL_{n}(K)-Menge.)

(4) Wieviele Matrizen in K^{n×n} von Rang m gibt es? (Hinweis: Betrachte K^{n×n} als GL_{n}(K) × GL_{n}(K)-Menge, und darin eine Bahn.)

Aufgabe 12 (3 Punkte). Sei G eine Gruppe. Zeige oder widerlege.

(1) Es operiere G auf sich und auf der Menge der Untergruppen von G, geschrieben 𝔘(G), via Konjugation. Dann ist die Abbildung G \overline{}𝔘(G), g \overline{}Stab_{G}(g), eine G-verträgliche Abbildung.

(2) Sind U und V isomorphe Untergruppen von G, so sind ihre Normalisatoren isomorph.

(3) Sind U und V Untergruppen von G derart, daß V = α(U) für ein α ∈ Aut G, so sind ihre Normalisatoren isomorph.

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