G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 03.02.05

Algebra I, WS 04/05

Blatt 14

Aufgabe 56 (2+2+2+9 Punkte). Sei K ein unendlicher Körper, sei E|K eine Galoiserweiterung von Grad n := [E : K], und sei a ∈ E ein primitives Element, d.h. sei E = K(a). Sei Gal(E|K) = {σ_{1}, …, σ_{n}} durchnumeriert, wobei σ_{1} = id.

(1) Sei f(X) := \frac{μ_{a,K}(X)}{(X−a)μ′_{a,K}(a)} ∈ E[X]. Zeige, daß f(a) = 1 und daß f^{σ_{i}}(a) = 0 für i ∈ [2, n].

(2) Sei d(X) := det (f^{σ_{i}^{−1}∘σ_{j}}(X))_{i, j ∈ [1,n]} ∈ E[X]. Zeige, daß d(a) = 1. Folgere, daß d(X) ≠ 0.

(3) Zeige, daß es ein b ∈ K gibt mit d(b) ≠ 0. Zeige, daß für c := f(b) ∈ E das Tupel (σ_{1}(c), …, σ_{n}(c)) eine Basis von E über K bildet. Eine Basis dieser Form heißt auch Normalbasis. (Hinweis: Zeige lineare Unabhängigkeit; wende auf diesbezüglichen Ansatz Automorphismen an.)

(4) Bestimme Normalbasen für die folgenden Galoiserweiterungen.

(i) C|R . (ii) Q(ζ_{8})|Q . (iii) Q(X_{1}, X_{2}, X_{3})|Q(s_{1}, s_{2}, s_{3}) , vgl. Aufgabe 54.

Aufgabe 57 (4+6+4+6 Punkte).

(1) Sei F_{8} := F_{2}[T]/(T^{3} + T + 1) und schreibe β := T̄. Berechne β^{i} für i ∈ [0, 7] als Linearkombinationen in (β^{0}, β^{1}, β^{2}).

(2) Bestimme alle irreduziblen normierten Polynome von Grad 2 in F_{8}[X]. Konstruiere mit einem von ihnen den Körper F_{64}.

(3) Bestimme Erzeuger über F_{2} für alle echten Zwischenkörper zwischen F_{2} und F_{64}.

(4) Konstruiere mittels eines irreduziblen Polynoms von Grad 3 in F_{8}[X] den Körper F_{512}. Verwende ein primitives Element in F_{512} über F_{2} zur Bestimmung eines irreduziblen Polynoms von Grad 9 in F_{2}[X].

Aufgabe 58 (2+2+2 Punkte). Sei p eine Primzahl, sei r ≥ 1 und sei q = p^{r}. Sei l eine weitere Primzahl (gleich oder ungleich p), und sei m ≥ 1.

(1) Wieviele Zwischenkörper gibt es zwischen F_{q} und F_{q^{(l^{m})}} ?

(2) Wieviele normierte irreduzible Polynome von Grad l^{m} gibt es in F_{q}[X] ?

(3) In wieviele normierte irreduzible Faktoren zerfällt X^{q^{(l^{m})}} − X ∈ F_{q}[X]?

Sind diese Faktoren paarweise verschieden?

Aufgabe 59 (3 Punkte). Sei p eine Primzahl, sei r ≥ 1 und sei q = p^{r}. Zeige oder widerlege.

(1) Sei f(X) ∈ F_{q}[X] irreduzibel von Grad n ≥ 1. Es hat f(X) in F_{q^{n}} genau n verschiedene Nullstellen.

(2) Es gibt einen Teilkörper von F_{q}(X) isomorph zu F_{q^{2}}.

(3) Sei E|K eine Galoiserweiterung. Es ist E^{∗} \overline{}K^{∗}, x \overline{}N_{E|K}(x) surjektiv.

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