G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 27.01.05

Algebra I, WS 04/05

Blatt 13

Aufgabe 53 ((3+2+1)·3 Punkte).

(i) Bestimme Erzeuger für die Galoisgruppe Gal(E|K), eingebettet in eine geeignete symmetrische Gruppe.

(ii) Bestimme Erzeuger für alle echten Zwischenkörper K ⊊ F ⊊ E.

(iii) Entscheide, welche der Zwischenkörper aus (ii) galoisch über K sind. Entscheide, über welchen der Zwischenkörper aus (ii) die Erweiterung E galoisch ist.

(1) E := L und K wie in Aufgabe 49 (2).

(2) E und K wie in Aufgabe 50 (1).

(3) E und K wie in Aufgabe 50 (2).

Aufgabe 54 (2+2+6+2 Punkte).

Sei n ≥ 1, und sei E := Q(X_{1}, …, X_{n}). Es operiert S_{n} auf Q(X_{1}, …, X_{n}) vermöge σ(X_{i}) := X_{σ(i)} für σ ∈ S_{n}. Sei K := Fix_{S_{n}}(E) = {ξ ∈ E | σ(ξ) = ξ für alle σ ∈ S_{n}} der Fixkörper dieser Operation. Sei

(T − X_{1})(T − X_{2}) ⋯ (T − X_{n}) =: T^{n} + ∑_{i∈[1,n]}(−1)^{i}s_{i} T^{n−i} =: f(T)

mit dem i-ten elementarsymmetrischen Polynom s_{i} ∈ Z[X_{1}, …, X_{n}]. Schreibe K̃ := Q(s_{1}, …, s_{n}) ⊆ K.

Sei L_{n} := K̃, und sei L_{i} := L_{i+1}(X_{i+1}) für i ∈ [0, n − 1]. Sei f_{n}(T) := f(T), und sei f_{i}(T) = f_{i+1}(T)/(T − X_{i+1}) ∈ L_{i}[T] für i ∈ [0, n − 1].

(1) Zeige, daß [L_{i} : L_{i+1}] ≤ i + 1 für i ∈ [0, n − 1]. (Hinweis: f_{i+1}(X_{i+1}) = 0.) Folgere, daß [E : K̃] ≤ n! . Folgere, daß K = K̃.

(2) Zeige, daß (X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}} ⋯ X_{n}^{a_{n}} | a_{i} ∈ [0, i − 1]) eine Basis von E über K ist. Zeige, daß die Koeffizienten eines Elements in Z[X_{1}, …, X_{n}] bezüglich dieser Basis in Z[s_{1}, …, s_{n}] liegen. Folgere insbesondere, daß jedes Polynom in Z[X_{1}, …, X_{n}], welches fix unter S_{n} ist, bereits in Z[s_{1}, …, s_{n}] liegt.

(3) Sei n = 3. Schreibe (X_{1} − X_{2})^{2}(X_{1} − X_{3})^{2}(X_{2} − X_{3})^{2} als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen s_{1}, s_{2} und s_{3} mit Koeffizienten in Z.

(4) Sei K ein Körper, und sei f(T) = T^{3}+uT +v ∈ K[T]. Zeige mit (3), daß f(T) in seinem Zerfällungskörper genau dann keine mehrfachen Nullstellen enthält, wenn 4u^{3} + 27v^{2} ≠ 0.

Aufgabe 55 (2+2+2+2+4 Punkte).

Sei Φ_{1}(X) := X − 1. Für m > 1 sei Φ_{m}(X) := \frac{X^{m} − 1}{∏_{\begin{matrix}d | m \\ d ≠ m \end{matrix}}Φ_{d}(X)} ∈ Q(X) , wobei d | m die Kurzschreibweise sei für

d ∈ {c ∈ Z_{≥1} | m ≡_{c} 0}.

(1) Zeige, daß Φ_{m}(X) ∈ Z[X] liegt und normiert ist für m ≥ 1.

(Hinweis: Verwende Zerfällungskörper von X^{m} − 1.)

(2) Sei ζ_{m} eine Nullstelle von Φ_{m}(X) im Zerfällungskörper E von Φ_{m}(X). Zeige, daß E = Q(ζ_{m}). Zeige, daß ζ_{m}^{m} = 1, aber ζ_{m}^{d} ≠ 1 für alle d | m mit d ≠ m (i.e. ζ_{m} ist eine primitive m-te Einheitswurzel).

(3) Sei p eine Primzahl teilerfremd zu m, und sei i ∈ [0, m − 1] teilerfremd zu m. Sei Ψ(X) der normierte irreduzible Faktor von Φ_{m}(X), der in E die Nullstelle ζ_{m}^{i} hat. Zeige, daß Ψ(ζ_{m}^{ip}) = 0. (Hinweis: Rechne modulo p, dort ist g(X^{p}) = g(X)^{p} für g(X) ∈ F_{p}[X].)

(4) Zeige mit (3), daß Φ_{m}(X) ∈ Q[X] irreduzibel ist für m ≥ 1. Folgere, daß Φ_{m}(X) das Minimalpolynom von ζ_{m} wie auch von exp(2πi/m) ∈ C ist.

(5) Bestimme Φ_{m}(X) für m ∈ [1, 10].

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