G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 20.01.05.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 12

Aufgabe 49 (16 Punkte). Sei L|K eine algebraische Körpererweiterung, und sei a ∈ L ein Element.

(i) Bestimme das Minimalpolynom μ_{a,K}(X) von a über K. (ii) Bestimme alle Automorphismen von K(a) über K (d.h. alle K-Algebrenautomorphismen von K(a))

durch Angabe der Bilder von a. Ist K(a) ein Zerfällungskörper von μ_{a,K}(X)?

(1) K = R, L = C, a = 1 + i.

(2) K = Q, L = Q(\sqrt{3} + \sqrt{5}), a = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{5}.

(3) K = Q(T^{3}), L = Q(T), a = 1 + T.

(4) K = F_{3}, L = F_{3}[T]/(T^{3} − T + 1) (≃ F_{27}), a = 1 + \overline{T} + \overline{T}^{2}. Aufgabe 50 ((2+2+1) · 3 Punkte). Sei K ein Körper, und sei f(X) ∈ K[X]. Sei E ein Zerfällungskörper von f(X).

(i) Bestimme [E : K]. (ii) Gib alle Automorphismen von E über K an. (iii) Bestimme, falls möglich, ein a ∈ E mit E = K(a), sowie μ_{a,K}(X).

(1) K = Q, f(X) = X^{3} − 3.

(2) K = Q(\sqrt{2}), f(X) = X^{4} − 2X^{2} − \sqrt{2}. (Hinweis: Mit α ist auch −α Nullstelle von f(X).)

(3) K = F_{3}(S^{3}, T^{3})( ⊆ F_{3}(S, T)), f(X) = (X^{3} − S^{3})(X^{3} − T^{3}). Aufgabe 51 (3+1 Punkte). Betrachte die abelsche Gruppe M := Z/(3) ⊕ Z/(9) ⊕ Z/(27).

(1) Bestimme | End M|.

(2) Bestimme | Aut M|. Aufgabe 52 (5 Punkte). Sei K ein Körper, und sei L eine endliche Körpererweiterung von K (d.h. [L : K] < ∞). Zeige oder widerlege.

(1) Sei a ∈ L. Das charakteristische Polynom der K-linearen Abbildung L \overline{}L, t \overline{}at ist gleich μ_{a,K}(X)^{[L:K(a)]}.

(2) Sind f(X), g(X) ∈ K[X] zwei verschiedene irreduzible normierte Polynome von Grad ≥ 2, so sind ihre Wurzelkörper nicht isomorph.

(3) Sei f(X) ∈ K[X] ein irreduzibles normiertes Polynom, und sei a ∈ L mit f(a) = 0. Es ist f(X) = μ_{a,K}(X).

(4) Sei a ∈ L. Es ist μ_{a,K}(X) ∈ K[X] irreduzibel.

(5) Sei E eine Körpererweiterung von K, und seien u, v ∈ E. Dann sind u und v algebraisch über K genau dann, wenn u + v und uv algebraisch über K sind.

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