G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 13.01.05.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 11

Aufgabe 45 (8 Punkte). Sei R ein Hauptidealbereich, seien m, n ≥ 1, und sei der Morphismus R^{n} ^{\overline{}^{f}} R^{m} von R-Moduln durch die Matrix A ∈ R^{m×n} dargestellt. Finde ein k ≥ 0 und eine Matrix B ∈ R^{n×k} so, daß der von ihr dargestellte Morphismus R^{k} ^{\overline{}^{g}} R^{n} injektiv ist mit Bild(g) = Kern(f). (Berechnung des Kerns ‘in Matrixform’.)

(1) R = Z, A = (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & 16 \end{matrix}) ∈ Z^{2×4}.

(2) R = Z[i], A = (\begin{matrix}1+i & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2i & 0 & 1+i & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2−2i & 1−i & 0 & 0 & 4 \end{matrix} ) ∈ R^{3×6}.

(Hinweis: Ist SAT in Elementarteilerform mit S, T invertierbar, so wähle für B gewisse Spalten von T.) Aufgabe 46 (2+2+2+6+6 Punkte). Sei R ein kommutativer Ring, und sei folgendes Diagramm von Morphismen von R-Moduln gegeben.

\xymatrix{F′ \ar[r]^{p′} & F \ar[r]^{p} \ar[d]^{û} & X \ar[d]^{u} \\ G′ \ar[r]^{q′} & G \ar[r]^{q} & Y}

Hierbei sei u ∘ p = q ∘ û, sei p surjektiv, sei p′(F′) = Kern p, sei q surjektiv, und sei q′(G′) = Kern q. Schreibe Cokern(u) := Y/u(X) = Y/Bild(u) für den Cokern von u.

Schreibe F ⊕ G′ ^{\overline{}^{π_{F}}} F, (f, g′) \overline{}f. Schreibe F ⊕ G′ ^{\overline{}^{(^{û q′})}} G, (\begin{matrix}f \\ g′ \end{matrix} ) \overline{}û(f) + q′(g′).

Ein Morphismus von ⨁_{j∈[1,l]} R/(a_{j}) nach ⨁_{i∈[1,k]} R/(b_{i}) wird durch eine Matrix (x_{i,j})_{i∈[1,k], j∈[1,l]} ∈ R^{k×l} repräsentiert und schickt den repräsentierenden Vektor (r_{j})_{j∈[1,l]} nach (∑_{j∈[1,l]} x_{i,j}r_{j})_{i∈[1,k]}. Für die Einträge dieser Matrix muß stets (b_{i}) ⊇ (x_{i,j}a_{j}) gelten.

(1) Zeige, daß Cokern(( û ^{q′})) ≃ Cokern(u).

(2) Zeige, daß p′(F′) ⊆ Kern(u ∘ p) = π_{F} (Kern ( û ^{q′})) ⊆ F.

(3) Zeige, daß Bild(u) ≃ F/ Kern(u ∘ p) und daß Kern(u) ≃ Kern(u ∘ p)/p′(F′).

(4) Sei R = Z, und sei (X ^{\overline{}^{u}} Y) = (Z/(4) ⊕ Z/(8) ^{\overline{}^{( \begin{matrix}1 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} )}} Z/(2) ⊕ Z/(16)).

Berechne Kern(u), Bild(u) und Cokern(u) als direkte Summe zyklischer Z-Moduln.

(5) Sei R = Z[i], und sei (X ^{\overline{}^{u}} Y) = (R/(2) ⊕ R/(1 + i) ⊕ R/(4)^{\overline{}^{( \begin{matrix}1+i & 2 & 1 \\ 2i & 0 & 1+i \\ 2 & 2−2i & 1−i \end{matrix} )}}R/(2) ⊕ R/(2) ⊕ R/(4)).

Berechne Kern(u), Bild(u) und Cokern(u) als direkte Summe zyklischer R-Moduln. (Hinweis: Wähle F, F′, G und G′ endlich erzeugt frei und übersetze (1) und (2) in Matrixoperationen. Vgl. mit Aufgabe 45.) Aufgabe 47 (6 Punkte). Sei R ein kommutativer Ring. Es heiße R noethersch, wenn es keine echt aufsteigende unendliche Kette von Idealen 𝔞_{1} ⊊ 𝔞_{2} ⊊ 𝔞_{3} ⊊ … ⊆ R gibt.

(1) Zeige, daß ein Ring R noethersch ist genau dann, wenn jedes Ideal in R endlich erzeugt ist.

(2) Sei R noethersch und X ein endlich erzeugter R-Modul. Sei Y ⊆ X ein Teilmodul. Zeige, daß Y endlich erzeugt ist.

(3) Zeige, daß aus R noethersch auch R[X] noethersch folgt. (Hilbertscher Basissatz.) (Hinweis: Skript Plesken, S. 93 ff. Die Aufgabe besteht aus Verstehen und eigenständigem Wiedergeben.) Aufgabe 48 (3 Punkte). Zeige oder widerlege.

(1) Hauptidealbereiche sind noethersch.

(2) Es ist Q[X, Y] ein noetherscher Ring.

(3) Jeder Teilring von Q[X, Y] ist noethersch.

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