G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 23.12.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 10

Aufgabe 40 (6 Punkte). Sei f(X) ∈ Z[X] irreduzibel und von Grad ≥ 1, und sei α ∈ C mit f(α) = 0 gegeben.

(1) Zeige, daß Q[X]/(f(X)) ≃ Quot(Z[X]/(f(X))).

(2) Zeige, daß Q[X]/(f(X)) ≃ Q[α] = Q(α).

(3) Zeige, daß Z[X]/(f(X)) ≃ Z[α].

Aufgabe 41 (9 Punkte). Entscheide, ob R ein Hauptidealbereich ist. Entscheide, ob R faktoriell ist.

(1) R = Z[i]. (Hinweis: δ(a + bi) = a^{2} + b^{2}.)

(2) R = Z[ζ_{3}] mit ζ_{3} := −\frac{1}{2} + \frac{i}{2} \sqrt{3}.

(3) R = Z[\sqrt{−13}].

Aufgabe 42 (4 Punkte). Sei R ein Hauptidealbereich. Zeige, daß für jedes Primideal 𝔭 in R[X] eine der Aussagen (i), (ii) oder (iii) zutrifft. Falls R unendlich viele Primideale enthält, entscheide, welchenfalls 𝔭 ein maximales Ideal ist.

(i) Es ist 𝔭 = 0 .

(ii) Es gibt ein Primelement g(X) ∈ R[X] ∖ {0} mit 𝔭 = (g(X)) .

(iii) Es gibt ein Primelement p ∈ R ∖ {0} und ein h(X) ∈ R[X] normiert von Grad ≥ 1, welches ein irreduzibles Bild in (R/(p))[X] hat, derart, daß 𝔭 = (p, h(X)) .

(Hinweis: Sei (a_{m}) := {a ∈ R | es gibt ein Polynom in 𝔭 ∖ {0} von Grad m mit Leitkoeffizient a} ∪ {0}. Sei n der minimale in 𝔭 ∖ {0} auftretende Grad, und g_{n}(X) ∈ 𝔭 ∖ {0} von Grad n mit Leitkoeffizient a_{n}. Falls 𝔭 kein Primelement aus R ∖ {0} enthält, so zeige zunächst g_{n}(X) irreduzibel, und dann 𝔭 = (g_{n}(X)).)

Aufgabe 43 (10 Punkte). Entscheide, welche der folgenden Ideale prim sind.

(1) (X^{12} + 55X^{7} + 125X^{3} − 505X + 5) ⊆ Z[X]. (2) (X^{2} + 30X + 125) ⊆ Z[X].
(3) (X^{5} − X^{4} + X^{3} + X^{2} + 2X + 1) ⊆ Z[X]  (Hinweis: Substitution, dann Eisenstein für p = 3).
(4) (X^{2} − Y, X − Y^{2}) ⊆ Q[X, Y].  (5) (X^{2} − Y, X − Y^{2} − 1) ⊆ Q[X, Y].

Aufgabe 44 (6 Punkte). Zeige oder widerlege.

(1) Sei R ein faktorieller Ring, und seien x, y ∈ R ∖ {0}. Es ist (ggT(x, y)) = (x, y).

(2) Sei f(X) ∈ Z[X] normiert, und sei p ∈ Z_{>0} prim. Ist sein Bild \overline{f(X)} ∈ F_{p}[X] irreduzibel, so auch f(X) selbst.

(3) Sei f(X) = aX^{k} + ⋯ + b ∈ Z[X], wobei a ≠ 0, k ≥ 1, und sei \frac{m}{n} ∈ Q mit f(\frac{m}{n}) = 0, wobei m, n ∈ Z teilerfremd seien. Dann gilt n|a und m|b.

(4) Sei R ein Hauptidealbereich, aber kein Körper, und sei g(X) ∈ R[X] irreduzibel. Es ist R[X]/(g(X)) kein Körper.

(5) Sei f(X) ∈ Z[X] irreduzibel. Es ist Z[X]/(f(X)) \overline{}Q[X]/(f(X)), X̄ \overline{}X̄ injektiv.

(6) Sei p ≥ 3 prim. Es gibt ein a ∈ Z mit a^{(p−1)/2} ≡_{p} −1.

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