G. Nebe, M. Künzer Abgabe am 21.10.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 1

Aufgabe 5 (1+1+2+9 Punkte). Sei n ≥ 2.

(1) Zeige, daß ^{ρ}(a_{1}, …, a_{k}) = (ρ(a_{1}), …, ρ(a_{k})) für ρ und (a_{1}, …, a_{k}) ∈ S_{n}.

(2) Enthalte die Zykeldarstellung von σ ∈ S_{n} gerade u_{m} Zykel der Länge m für m ∈ [1, n]. (Hierzu werden ausnahmsweise Zykel der Länge 1 mitberücksichtigt.) Gib die Länge der Konjugiertenklasse |^{S_{n}}σ| an.

(3) Gib die Konjugiertenklassen von S_{5} samt jeweiliger Länge an, berechnet nach (2).

(4) Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so heißt C_{G}(U) := {g ∈ G : ^{g}u = u für alle u ∈ U} der Zentralisator von U in G. Gib je eine nicht zyklische Untergruppe von S_{4} von Ordnung 4, 8, und 12 an, sowie jeweils ihren Normalisator und Zentralisator in S_{4} sowie ihr Zentrum (vgl. Aufgabe 6 (3)).

Aufgabe 6 (1+1+1+1+2+2+2+1 Punkte). Sei G eine Gruppe. Betrachte die Abbildung

\begin{matrix}G & ^{\overline{}^{c}} & Aut G \\ g & \overline{} & (x \overline{}^{g}x) . \end{matrix}

D.h. c(g) ist der Automorphismus von G, der (c(g))(x) = ^{g}x = gxg^{−1} liefert.

(1) Zeige, daß c eine wohldefinierte Abbildung ist, d.h. zeige, daß c(g) in der Tat ein Automorphismus von G ist für alle g ∈ G.

(2) Zeige, daß die Abbildung c einen Morphismus von Gruppen darstellt.

(3) Sei Z(G) := {g ∈ G : ^{g}x = x für alle x ∈ G} das Zentrum von G. Zeige: Z(G) = Kern c.

(4) Wir schreiben Inn G := Bild(c) für die Gruppe der inneren Automorphismen. Bestimme N_{Aut G}(Inn G).

(5) Sei G = S_{3}. Zeige, daß c bijektiv ist.

(6) Sei G = S_{4}. Zeige, daß c bijektiv ist.

(7) Sei G = S_{5}. Zeige, daß c bijektiv ist.

(8) Gib eine Gruppe G an, für welche c weder injektiv noch surjektiv ist.

Aufgabe 7 (5 Punkte). Sei G eine Gruppe. Zeige oder widerlege.

(1) Ist G endlich, und sind x, y ∈ G, so ist |⟨x, y⟩| ein Teiler von |⟨x⟩| · |⟨y⟩|.

(2) Die Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe ist endlich.

(3) Ist U ≤ V ≤ G, so ist C_{G}(U) ≥ C_{G}(V).

(4) Ist U ≤ V ≤ G, so ist N_{G}(U) ≥ N_{G}(V).

(5) Ist G ^{\overline{}^{p}} H ein surjektiver Morphismus von Gruppen, so gibt es einen Morphismus von Gruppen G^{\overline{}^{i}} H mit p ∘ i = 1_{H}.

www2.math.rwth-aachen.de:8008