G. Nebe, M. Künzer Keine Abgabe, vorzurechnen in den Übungsgruppen am 14.10.04.

Algebra I, WS 04/05

Blatt 0

Aufgabe 1. Für welche n ≥ 0 ist S_{n} eine abelsche Gruppe? Aufgabe 2. Bestimme jeweils die Elemente von ⟨σ⟩. Was ist die Ordnung von σ ? Gib jeweils das Signum sgn σ an.

(1) σ = (1, 2, 3, 4) ∈ S_{5}.

(2) σ = (1, 2, 5, 6)(3, 4)(8, 7, 10) ∈ S_{10}

(3) σ = (1, 2)(2, 3) ∈ S_{3}. Aufgabe 3.

(1) Sei K ein Körper von Kardinalität q. Bestimme | GL_{n}(K)| für ein gegebenes n ≥ 1.

(2) Ist G eine endliche Gruppe, und U ≤ G, so zeige, daß |U| ein Teiler von |G| ist. (Hinweis: Unterteile G mittels der Äquivalenzrelation x ∼ y :⟺ x ∈ yU = {yu : u ∈ U}.)

(3) Zeige unter Verwendung von (2), daß n!(q − 1)^{n} ein Teiler von | GL_{n}(K)| ist.

Aufgabe 4. Betrachte G = GL_{3}(F_{2}). Die Ähnlichkeitsklasse einer Matrix darin heißt auch deren Konjugiertenklasse. Die Ordnung einer Konjugiertenklasse ist erklärt als Ordnung eines ihrer Repräsentanten.

(1) Finde alle Konjugiertenklassen der Ordnung 7 in G.

(2) Betrachte ein Element A ∈ G von Ordnung 7. Liegen alle Elemente von {A^{1}, A^{2}, A^{3}, A^{4}, A^{5}, A^{6}} in derselben Konjugiertenklasse?

(3) Gibt es eine Konjugiertenklasse der Ordnung 8 in G ? Entscheide unter Zuhilfenahme des Minimalpolynoms.

(4) Gibt es eine Untergruppe der Ordnung 8 in G ?

www2.math.rwth-aachen.de:8008