G. Nebe, M. Künzer 20.01.2005 Algebra I, WS 04/05

Probeklausur II

Dauer: 150 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. In der Klausur sind insgesamt 60 Punkte erreichbar. Jede Aufgabe sollte auf einer neuen Seite bearbeitet werden. Wer mehr Papier benötigt, bitte melden. Aufgabe 1 (2+9 Punkte) Sei R = Z[ζ_{3}] und schreibe α := ζ_{3} − 1. Gegeben sei der Morphismus von R-Moduln

(X ^{\overline{}^{u}} Y) := (R/(3) ⊕ R/(9)^{\overline{}^{(\begin{matrix}α & −α \\ α & −α \\ α & α \end{matrix})}}R/(3) ⊕ R/(3) ⊕ R/(3)) .

(1) Zeige, daß (α)^{2} = (3) als Ideale in R und daß α ein Primelement in R ist.

(2) Berechne Kern(u), Bild(u) und Cokern(u).

Aufgabe 2 (4+8+4+2+2 Punkte) Sei K = F_{3}(T), und sei f(X) = X^{4} − T. Sei E der Zerfällungskörper von f(X).

(1) Zeige, daß f(X) ∈ K[X] irreduzibel und separabel ist.

(2) Gib Erzeuger von Gal(E|K) an, eingebettet in eine geeignete symmetrische Gruppe.

(3) Bestimme für alle echten Zwischenkörper K ⊊ L ⊊ E Erzeuger über K.

(4) Entscheide, welche der Zwischenkörper aus (3) galoisch über K sind.

(5) Bestimme ein Element a ∈ E mit E = K(a).

(Hinweis: Es genügt, daß a in keinem echten Zwischenkörper liegt).

Aufgabe 3 (6 Punkte) Schreibe X_{1}^{4} + X_{2}^{4} + X_{3}^{4} ∈ Q[X_{1}, X_{2}, X_{3}] als Polynom in elementarsymmetrischen Polynomen. Aufgabe 4 (5 Punkte) Bestimme ein irreduzibles Polynom von Grad 6 in F_{2}[X]. Aufgabe 5 (5 Punkte) Sei Φ_{m}(X) das mte Kreisteilungspolynom, und sei p eine Primzahl. Zeige, daß Φ_{m}(X^{p}) = Φ_{pm}(X), falls p ein Teiler von m ist, und daß Φ_{m}(X^{p}) = Φ_{pm}(X)Φ_{m}(X) sonst. Aufgabe 6 (4 Punkte) Sei E|K eine galoische Körpererweiterung von Grad n := [E : K] ≡_{2} 1, und sei (x_{1}, …, x_{n}) eine Basis von E über K. Zeige, daß die Determinante der Matrix (σ(x_{i}))_{σ∈Gal(E|K), i∈[1,n]} ∈ E^{n×n} in K liegt. Aufgabe 7 (9 Punkte) Zeige oder widerlege.

(1) Sei R ein Integritätsbereich, und sei 𝔭 ⊆ R ein Primideal. Ist R noethersch, so auch R_{𝔭}.

(2) Seien α, β ∈ C algebraisch über Q mit deg μ_{α,Q}(X) = deg μ_{β,Q}(X) = 2.

Dann ist auch α + β algebraisch über Q und es ist deg μ_{α+β,Q}(X) ≤ 2.

(3) Sei f(X) ∈ K[X] irreduzibel und separabel, und sei E Zerfällungskörper von f(X). Dann ist [E : K] ein Teiler von (deg f)!.