G. Nebe, M. Künzer 02.12.2004 Algebra I, WS 04/05

Probeklausur I

Dauer: 120 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. In der Klausur sind insgesamt 40 Punkte erreichbar. Jede Aufgabe sollte auf einer neuen Seite bearbeitet werden. Wer mehr Papier benötigt, bitte melden. Aufgabe 1 (4+2+4 Punkte)

Sei a := (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ GL_{3}(F_{2}), sei b := (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ GL_{3}(F_{2}), und sei G := ⟨a, b⟩ ≤ GL_{3}(F_{2}).

(1) Bestimme eine base und zugehörige strong generators von G.

(2) Ist (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ G ? Falls ja, stelle es als Produkt in den Erzeugern a und b dar.

(3) Bestimme |Z(G)|.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Es operiere S_{5} auf der Menge

A := \{f : \{1, 2, 3, 4, 5\} \overline{}\{1, 2, 3, 4\} | f beliebige Abbildung\}

vermöge (σ ·f)(i) := f(σ^{−1}(i)) für 1 ≤ i ≤ 5. Bestimme die Anzahl der Bahnen. (Potenzen nicht auswerten.) Aufgabe 3 (3 Punkte) Sei G := ⟨g, h, k | (gh^{−1}k^{−1})^{2}, h^{2}gk^{−1}h^{3}, hgk^{−1}⟩. Ist G eine endliche Gruppe? Aufgabe 4 (6 Punkte) Sei G eine einfache Gruppe von Ordnung 360, welche weniger als 120 Elemente der Ordnung 5 enthält.

(1) Wieviele Untergruppen von Index 4 gibt es in G ?

(2) Zeige, daß G isomorph zu einer Untergruppe von S_{6} ist.

(3) Zeige, daß G isomorph zu A_{6} ist.

Aufgabe 5 (3 Punkte) Bestimme ein Element von Ordnung 3 in Aut(C_{2} × C_{2}). Aufgabe 6 (4 Punkte) Bestimme bis auf Isomorphie alle nichtabelschen Gruppen der Ordnung 55. Aufgabe 7 (4 Punkte) Sei R := Z[X]/(X^{3} − 2), und sei p wie angegeben. Zerlege R/(p) in ein ringdirektes Produkt von Körpern, oder gib in R/(p) ein nilpotentes Element ungleich Null an.

(1) p = 5.

(2) p = 3.

Aufgabe 8 (6 Punkte) Sei G eine endliche Gruppe, und sei p ein Primteiler von |G|. Zeige oder widerlege.

(1) Die Menge der Untergruppen von G von Ordnung p bildet eine transitive G-Menge unter Konjugation.

(2) Ist P eine normale p-Sylowgruppe von G, so ist P eine charakteristische Untergruppe von G.

(3) Ist G′ ≤ U ≤ G, so ist U ⊴ G.