G. Nebe, M. Künzer 29.03.2005 Algebra I, WS 04/05

Nachklausur

Dauer: 180 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. In der Klausur sind insgesamt 100 Punkte erreichbar. Aufgabe 1 (8+4 Punkte) Seien a := (1, 2, 3, 4) und b := (1, 3) Elemente von S_{4}, und sei G := ⟨a, b⟩ ≤ S_{4}.

(1) Bestimme eine base und strong generators für G.

(2) Ist (1, 2)(3, 4) ∈ G? Wenn ja, stelle es als Produkt in den Erzeugern a und b dar.

Aufgabe 2 (4+8 Punkte) Sei R := Z[i] und sei α := 1 + i.

(1) Gib μ_{α,Q}(X) an. Zeige, daß α ∈ R prim ist, und daß (α^{2}) = (2).

(2) Sei

(X ^{\overline{}^{u}} Y) := (R/(2) ⊕ R/(2) ^{\overline{}^{(\begin{matrix}2 & α \\ α & 0 \end{matrix})}} R/(4) ⊕ R/(2)) .

Berechne Bild(u) und Cokern(u).

Aufgabe 3 (6+6 Punkte)

(1) Sei G eine nichtabelsche Gruppe von Ordnung 385. Wieviele Elemente der Ordnung 5 enthält sie?

(2) Zeige, daß es eine nichtabelsche Gruppe von Ordnung 385 gibt.

Aufgabe 4 (20 Punkte) Sei K ein Körper, sei f(X) ∈ K[X] ein irreduzibles, normiertes und separables Polynom, und sei E der Zerfällungskörper von f(X). Beschreibe das Verfahren zur Konstruktion von E und zur Berechnung von Gal(E|K) in Worten. Aufgabe 5 (10 Punkte) Bestimme ein normiertes irreduzibles Polynom von Grad 4 in F_{3}[X]. Aufgabe 6 (10 Punkte) Bestimme eine Normalbasis von Q(ζ_{5}) über Q. (Hinweis: erst mit der bekannten Galoisgruppe probieren, dann ggf. Methode.) Aufgabe 7 (9 Punkte) Finde ein idempotentes Element in Q[X]/(X^{3} − 1) ungleich 0 und ungleich 1. (Hinweis: Chinesischer Restsatz.) Aufgabe 8 (15 Punkte) Zeige oder widerlege.

(1) Das Produkt zweier elementarsymmetrischer Polynome in Q[X_{1}, X_{2}, X_{3}] ist wieder ein elementarsymmetrisches Polynom.

(2) Es ist X^{4} + a ∈ Q[X] irreduzibel für a > 0.

(3) Es gibt eine Gruppe G von Ordnung 120, die zwei Normalteiler N_{1} und N_{2} derart besitzt, daß N_{1} isomorph zu A_{5} und G/N_{2} isomorph zu C_{3} ist.