G. Nebe, M. Künzer 04.02.2005

Algebra I, WS 04/05

Klausur II

Dauer: 150 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. In der Klausur sind insgesamt 60 Punkte erreichbar. Jede Aufgabe sollte auf einer neuen Seite bearbeitet werden. Wer mehr Papier benötigt, bitte melden. Aufgabe 1 (9 Punkte) Gegeben sei der Morphismus von Z-Moduln

(X ^{\overline{}^{u}} Y) := (Z/(4) ⊕ Z/(4) ^{\overline{}^{(\begin{matrix}2 & 2 \\ 4 & 4 \end{matrix})}} Z/(4) ⊕ Z/(8)) .

Berechne Kern(u), Bild(u) und Cokern(u). Aufgabe 2 (3+9+4+2+2 Punkte) Sei K = Q und sei f(X) = X^{3} + 2X^{2} + 2 ∈ Q[X]. Sei E der Zerfällungskörper von f(X).

(1) Zeige, daß f(X) ∈ Q[X] irreduzibel und separabel ist.

(2) Gib Erzeuger von Gal(E|K) an, eingebettet in eine geeignete symmetrische Gruppe.

(Hinweis: Nachweis einer Irreduzibilität mit R möglich, beachte f(−2).)

(3) Bestimme für alle echten Zwischenkörper K ⊊ L ⊊ E Erzeuger über K.

(4) Entscheide, welche der Zwischenkörper aus (3) galoisch über K sind.

(5) Gib für einen Zwischenkörper L mit [L : K] = 2 eine Normalbasis an.

Aufgabe 3 (6 Punkte) Schreibe X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + X_{3}^{3} ∈ Q[X_{1}, X_{2}, X_{3}] als Polynom in elementarsymmetrischen Polynomen. Aufgabe 4 (6 Punkte) Bestimme alle irreduziblen normierten Polynome von Grad 2 in F_{4}[X]. Aufgabe 5 (5 Punkte) Sei K ein Körper, sei p eine Primzahl, und sei f(X) ∈ K[X] irreduzibel und separabel von Grad deg(f) = p. Sei E der Zerfällungskörper von f(X). Zeige, daß es in Gal(E|K) ein Element der Ordnung p gibt. Aufgabe 6 (5 Punkte) Sei Φ_{m}(X) ∈ Z[X] das mte Kreisteilungspolynom. Zeige, daß Φ_{2m}(X) = Φ_{m}(−X) für ungerades m ≥ 3. Aufgabe 7 (9 Punkte) Zeige oder widerlege.

(1) Sei R ein kommutativer Ring, und sei 𝔞 ⊆ R ein Ideal. Ist R noethersch, so auch R/𝔞.

(2) Es gibt in F_{32} einen Teilkörper aus 8 Elementen.

(3) Sei K ein Körper, sei f(X) ∈ K[X] irreduzibel und separabel, und sei E|K Zerfällungskörper von f(X). Ist Gal(E|K) abelsch, so ist E auch Wurzelkörper von f(X).