G. Nebe, M. Künzer 17.12.2004

Algebra I, WS 04/05

Klausur I

Dauer: 120 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. In der Klausur sind insgesamt 40 Punkte erreichbar. Jede Aufgabe sollte auf einer neuen Seite bearbeitet werden. Wer mehr Papier benötigt, bitte melden. Aufgabe 1 (4+2+4+2 Punkte) Sei a := (1, 2)(4, 5), sei b := (2, 3)(4, 5), und sei G := ⟨a, b⟩ ≤ S_{5}.

(1) Bestimme eine base und zugehörige strong generators von G.

(2) Ist (1, 3) ∈ G ?

(3) Gib eine Präsentation von G an unter Verwendung der Erzeuger a und b.

(4) Zeige, daß es einen Automorphismus von G gibt, der a und b vertauscht.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Es operiere S_{4} auf der Menge

A := \{f : \{1, 2, 3, 4\} \overline{}\{1, 2, 3\} | f beliebige Abbildung\}

vermöge (σ ·f)(i) := f(σ^{−1}(i)) für 1 ≤ i ≤ 4. Bestimme die Anzahl der Bahnen. (Potenzen nicht auswerten.) Aufgabe 3 (3 Punkte) Sei G := ⟨g, h | hgh^{3}, h^{3}g^{3}⟩. Bestimme G/G′ als direktes Produkt zyklischer Gruppen. Aufgabe 4 (6 Punkte) Sei G eine einfache Gruppe von Ordnung 168.

(1) Wieviele Elemente der Ordnung 7 gibt es in G ?

(2) Zeige, daß es keine transitive G-Menge M mit |M| = 6 gibt.

(3) Zeige, daß ⋂_{P ∈Syl_{2}(G)} P = 1.

Aufgabe 5 (3 Punkte) Gib einen Isomorphismus C_{2} × C_{2} ^{\overline{}^{∼}} Aut C_{8} an. Aufgabe 6 (2 Punkte) Konstruiere eine nichtabelsche Gruppe von Ordnung 21. Aufgabe 7 (4 Punkte) Seien a, b, c ∈ Z. Bestimme ein x ∈ Z mit x ≡_{4} a, x ≡_{5} b und x ≡_{7} c. Aufgabe 8 (6 Punkte) Sei G eine endliche Gruppe. Zeige oder widerlege.

(1) Für wenigstens einen Primteiler p von |G| hat G eine normale p-Sylowgruppe.

(2) Sei G ≃ N ⋊ U semidirekt zerlegt. Für (n, u) ∈ N ⋊ U ist |⟨(n, u)⟩| = kgV(|⟨n⟩|, |⟨u⟩|).

(3) Ist |G| = 102, so ist G auflösbar.