G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Lösung 11

Aufgabe 1.

Wir überprüfen zuerst die Wohldefiniertheit der Gruppen. Wesentlich ist hierbei, daß B^{i} ⊆ Z^{i}. Für i = 0 ist hier nichts zu zeigen. Für i = 1 folgt dies mit d(g) = m − mg aus d(h) − d(gh) + d(g)h = (m − mh) − (m − mgh) + (m − mg)h = 0. Für i = 2 folgt dies mit f(g, h) = d(h)−d(gh)+d(g)h aus f(h, k)−f(gh, k)+f(g, hk)−f(g, h)k = (d(k)−d(hk)+ d(h)k)−(d(k)−d(ghk)+d(gh)k)+(d(hk)−d(ghk)+d(g)hk)−(d(h)−d(gh)+d(g)h)k = 0.

Für eine kurz exakte Sequenz 0 \overline{}M′ \overline{}M \overline{}M′′ \overline{}0 von ZG-Moduln haben wir zu zeigen, daß die Sequenz

0 \overline{}H^{0}(G, M′) \overline{}H^{0}(G, M) \overline{}H^{0}(G, M′′) ^{\overline{}^{∂_{0}}}
H^{1}(G, M′) \overline{}H^{1}(G, M) \overline{}H^{1}(G, M′′) ^{\overline{}^{∂_{1}}}
H^{2}(G, M′) \overline{}H^{2}(G, M) \overline{}H^{2}(G, M′′)

exakt ist.

Überprüfen wir zunächst, daß alle eingetragenen Abbildungen wohldefiniert sind.

Sei allgemein X ^{\overline{}^{u}} Y ein Morphismus von ZG-Moduln. Sei

\begin{matrix}Z^{0}(G, X) & \overline{} & Z^{0}(G, Y) , & m & \overline{} & mu , \\ Z^{1}(G, X) & \overline{} & Z^{1}(G, Y) , & d & \overline{} & (du : g \overline{}(d(g))u) , \\ Z^{2}(G, X) & \overline{} & Z^{2}(G, Y) , & f & \overline{} & (fu : (g, h) \overline{}(f(g, h))u) . \end{matrix}

Mit der ZG-Linearität von u sehen wir, daß diese Abbildungen wohldefiniert sind, i.e. daß sie Cozykel in Cozykel überführen. Ebenfalls gibt die ZG-Linearität von u, daß innere Cozykel auf innere Cozykel abgebildet werden. Damit werden die gesuchten Abbildungen H^{i}(G, X) \overline{}H^{i}(G, Y) induziert.

Wohldefiniertheit von ∂_{0}. Zunächst ist m − mg in der Tat in (i.e. im Bild von) M′, da m − mg \overline{}m′′ − m′′g = 0 ∈ M′′. Das Bild ist in Z^{1}(G, M′), da es eine (sogar innere) Derivation ist, wenn man den Bildbereich zu M erweitert. Für die Unabhängigkeit von der Wahl von m \overline{}m′′ dürfen wir nach Betrachtung der Differenz m′′ = 0 annehmen. Dann aber ist m ∈ M′, d.h. es liegt eine innere Derivation vor, die in H^{1}(G, M′) verschwindet.

Wohldefiniertheit von ∂_{1}. Zunächst ist d(h) − d(gh) + d(g)h in der Tat in M′, da d(h) − d(gh) + d(g)h \overline{}d′′(h) − d′′(gh) + d′′(g)h = 0 ∈ M′′. Das Bild ist in Z^{2}(G, M′), da es ein (sogar inneres) Faktorensystem ist, wenn man den Bildbereich zu M erweitert. Für die Unabhängigkeit von der Wahl von d \overline{}d′′ dürfen wir nach Betrachtung der Differenz d′′ = 0 annehmen. Dann aber ist d eine Funktion mit Werten in M′, d.h. es liegt ein inneres Faktorensystem vor, das in H^{2}(G, M′) verschwindet. Damit ist die Abbildung auf der Ebene Z^{1}(G, M′′) \overline{}H^{2}(G, M′) wohldefiniert. Um zu zeigen, daß hiervon eine Abbildung H^{1}(G, M′′) \overline{}H^{2}(G, M′) induziert wird, haben wir nachzuweisen, daß die Bilder innerer Derivationen verschwinden. Sei also d′′ ∈ Z^{1}(G, M′′) eine durch d′′(g) := m′′ − m′′g definierte innere Derivation, wobei m′′ ∈ M′′. Wählen wir m \overline{}m′′ und setzen d(g) := m − mg, dann geht d \overline{}d′′. Da d nun selbst eine (sogar innere) Derivation ist, ist d(h) − d(gh) + d(g)h = 0. (Modulo inneren Faktorensystemen zu rechnen, ist also nur nötig, um die Unabhängigkeit von der getroffenen Urbildwahl von d′′ zu garantieren.)

Zeigen wir nun, daß alle Kompositionen zweier aufeinanderfolgender Abbildungen verschwinden. Bei H^{0}(G, M), H^{1}(G, M) und H^{2}(G, M) folgt das aus der Tatsache, daß wir die Komposition zweier auf den Cohomologiegruppen induzierten Abbildungen zu betrachten haben, nämlich M′ \overline{}M und M \overline{}M′′, und deren Komposition selbst schon verschwindet.

Komposition bei H^{0}(G, M′′). Sei m ∈ M^{G}, und sei m \overline{}m′′. Dann bildet m′′∂_{0} das Element g ab auf m − mg = 0.

Komposition bei H^{1}(G, M′). Sei m′′ ∈ M^{′′G}. Das Bild von m′′∂_{0} in H^{1}(G, M) bildet g auf m − mg ab, wobei m \overline{}m′′. Das ist aber eine innere Derivation in Z^{1}(G, M).

Komposition bei H^{1}(G, M′′). Sei d ∈ Z^{1}(G, M), und sei d \overline{}d′′. Dann bildet d′′∂_{1} das Paar (g, h) ab auf d(h) − d(gh) + d(g)h = 0.

Komposition bei H^{2}(G, M′). Sei d′′ ∈ Z^{1}(G, M′′). Das Bild von d′′∂_{1} in H^{2}(G, M) bildet (g, h) auf d(h)−d(gh)+d(g)h ab, wobei d \overline{}d′′. Das ist aber ein inneres Faktorensystem in Z^{2}(G, M).

Zeigen wir nun vollends die Exaktheit. Es fehlt noch, daß der jeweilige Kern im jeweiligen Bild liegt.

Exaktheit bei H^{0}(G, M′). Diese übersetzt sich in die Injektivität von M^{′G} \overline{}M^{G}, und diese folgt aus der Injektivität von M′ \overline{}M.

Exaktheit bei H^{0}(G, M). Sei m ∈ M^{G}, und sei m \overline{}0. Dann ist m auch in M′, und also insgesamt in M^{′G}.

Exaktheit bei H^{0}(G, M′′). Sei m′′ ∈ M^{′′G}, und sei m′′∂_{0} = 0. I.e. sei m \overline{}m′′, und sei g \overline{}m − m^{g} eine innere Derivation, sei also ein m′ ∈ M′ existent mit m − m^{g} = m′ − m^{′g} stets. Dann ist m − m′ ∈ M^{G}, und m − m′ \overline{}m′′.

Exaktheit bei H^{1}(G, M′). Sei d′ ∈ Z^{1}(G, M′), und sei das Bild von d′ in Z^{1}(G, M) eine innere Derivation, i.e. gebe es ein m ∈ M mit d′(g) = m − mg stets. Dann ist d′ = m′′∂_{0}, wobei m \overline{}m′′, und wobei in der Tat m′′ − m′′g = 0 stets, als das Bild von d′(g) ∈ M′.

Exaktheit bei H^{1}(G, M). Sei d ∈ Z^{1}(G, M), und sei das Bild von d in Z^{1}(G, M′′) eine innere Derivation, i.e. gebe es ein m′′ ∈ M mit d(g) \overline{}m′′ − m′′g stets. Sei m \overline{}m′′, und sei d̃(g) := m − mg. Es ist d − d̃∈ Z^{1}(G, M′), und d − d̃≡_{B^{1}(G,M)} d.

Exaktheit bei H^{1}(G, M′′). Sei d′′ ∈ Z^{1}(G, M′′), und sei d′′∂_{1} = 0. I.e. für d \overline{}d′′ sei (g, h) \overline{}d(h) − d(gh) + d(g)h ein inneres Faktorensystem, i.e. es gebe ein d′ : G \overline{}M′ mit d(h) − d(gh) + d(g)h = d′(h) − d′(gh) + d′(g)h. Dann ist d − d′ ∈ Z^{1}(G, M) und d − d′ \overline{}d′′.

Exaktheit bei H^{2}(G, M′). Sei f′ ∈ Z^{2}(G, M′), und sei das Bild von f′ in Z^{2}(G, M) ein inneres Faktorensystem, i.e. gebe es ein d : G \overline{}M mit f′(g, h) = d(h) − d(gh) + d(g)h stets. Dann ist f′ = d′′∂_{1}, wobei d \overline{}d′′, und wobei in der Tat d′′(h)−d′′(gh)+d′′(g)h = 0 stets, als das Bild von f′(g, h) ∈ M′.

Exaktheit bei H^{2}(G, M). Sei f ∈ Z^{2}(G, M), und sei das Bild von f in Z^{2}(G, M′′) ein inneres Faktorensystem, i.e. gebe es ein d′′ : G \overline{}M mit f(g, h) \overline{}d′′(h) − d′′(gh) + d′′(g)h stets. Sei d \overline{}d′′, und sei f̃(g, h) := d(h)−d(gh)+d(g)h. Es ist f −f̃ ∈ Z^{2}(G, M′), und f − f̃ ≡_{B^{2}(G,M)} f.

Wie kann man H^{3}(G, M′) und ∂_{2} definieren, um Exaktheit bei H^{2}(G, M′′) zu erhalten?

Aufgabe 2.

(1) Es ist x ∈ L^{∗} genau dann fix unter G, wenn x ∈ K^{∗}. Also H^{0}(G, L^{∗}) = (L^{∗})^{G} = K^{∗}.

(2) Wir haben zu zeigen, daß eine Derivation d ∈ Z^{1}(G, L^{∗}) inner ist. Betrachte hierzu

l(x) := ∑_{g∈G} xg · d(g)

für ein x ∈ L^{∗}. Mit Dedekinds Lemma gibt es ein x ∈ L^{∗} mit l(x) ∈ L^{∗}. Für h ∈ G wird

l(x)h = ∑_{g∈G} xgh · d(g)h
= ∑_{g∈G} xgh · (d(gh)d(h)^{−1})
= l(x)d(h)^{−1} ,

womit d(h) = l(x)(l(x)h)^{−1} als inner nachgewiesen ist.

(3) Die lange exakte Sequenz aus Aufgabe 1 gibt mit (2) insbesondere die exakte Se-

quenz

H^{0}(G, L^{∗}) \overline{}H^{0}(G, L^{∗}/S^{∗}) ^{\overline{}^{∂_{0}}} H^{1}(G, S^{∗}) \overline{}0

wobei L^{∗}/S^{∗} ^{\overline{}^{∼}} Z, x \overline{}v_{s}(x), und wobei Z mit der trivialen ZG-Modulstruktur ausgestattet ist, bezüglich welcher die Multiplikation mit g ∈ G stets als Identität operiert. In anderen Worten, wir haben eine exakte Sequenz

K^{∗} ^{\overline{}^{v_{s}}} Z \overline{}H^{1}(G, S^{∗}) \overline{}0

Das Bild von v_{s} ist wegen v_{s}(y) = nv_{r}(y) für y ∈ K^{∗} gegeben durch nZ. Es folgt H^{1}(G, S^{∗}) ≃ Z/nZ.

Ein Erzeuger ist gegeben durch d ∈ Z^{1}(G, S^{∗}) mit d(g) = s/sg ∈ S^{∗}, wie sich aus der Definition von ∂_{0} ergibt. Interessant wäre evtl. noch H^{1}(G, 1 + s^{k}S).

(4) Auf der einen Seite ist Br(F_{p}) = 0, also auch Br(F_{p^{2}}/F_{p}) = 1. Wegen H^{2}(C_{2}, F_{p^{2}}^{∗}) ≃ Br(F_{p^{2}}/F_{p}) und wegen C_{p^{2}−1} ≃ F_{p^{2}}^{∗} als ZC_{2}-Moduln (Frobenius!) folgt H^{2}(C_{2}, C_{p^{2}−1}) = 1.

Wir wollen nun zeigen, daß jedes normierte Faktorensystem inner ist. Um dies durchführen zu dürfen, müssen wir zunächst begründen, daß jedes Faktorensystem bis auf ein inneres Faktorensystem normiert ist. Dies ist eine allgemeine Tatsache.

Lemma (additiv geschrieben). Sei M ein ZG-Modul, und sei f ∈ Z^{2}(G, M) ein Faktorensystem. Dann gibt es ein normiertes Faktorensystem f_{0} ∈ Z^{2}(G, M) mit f−f_{0} ∈ B^{2}(G, M). Normiert zu sein heiße hierbei, es gelte stets f_{0}(g, 1) = f_{0}(1, h) = 0.

Beweis. Es ist f_{1}(g, h)  :=  f(1, h) − f(1, gh) + f(1, g)h  =

f(1, h) − f(g, h) + f(1 · g, h) − f(1, gh) + f(1, g)h = f(1, h) ein inneres Faktorensystem. Sei f_{0}(g, h) = f(g, h) − f_{1}(g, h). Es ist f_{0}(1, h) = 0 stets. Ferner ist f_{0}(h, 1) = −f_{0}(1, 1) + f_{0}(h · 1, 1) − f_{0}(h, 1 · 1) + f_{0}(h, 1) = 0 stets, q.e.d.

Die 2-Cozykelbedingung für eine Funktion mit f(g, 1) = f(1, h) = 0 stets ist für (g, h, k) mit g = 1 oder h = 1 oder k = 1 a priori erfüllt. Ist G = C_{2} = ⟨σ⟩, so bleibt also nur (g, h, k) = (σ, σ, σ) zu erfüllen, i.e.

f(σ, σ)f(1, σ)^{−1}f(σ, 1)(f(σ, σ)σ)^{−1} = 1 ,

i.e. es sollte f(σ, σ) fix unter σ sein, i.e. f(σ, σ) = a^{i(p+1)} für ein i ∈ [1, p − 1]. Das aus der Funktion d mit d(1) = 1 und d(σ) = a^{j} für ein j ∈ [1, p^{2} − 1] hervorgehene innere Faktorensystem ist normiert, und auf (σ, σ) gegeben durch

d(σ)d(σ × σ)^{−1}d(σ)σ = d(σ) · (d(σ)σ) = a^{j(1+p)} .

Damit ist jedes Faktorensystem inner. Es folgt wiederum H^{2}(C_{2}, C_{p^{2}−1}) = 1.

Aufgabe 3.

Reiner folgend führen wir eine Induktion nach m mit m^{2} = [D : K] durch. Für x ∈ D schreiben wir μ_{x,K}(X) = λ_{x,K}(X^{p^{e(x)}}) mit e(x) maximal. Dann ist a fortiori λ_{x,K}(X) irreduzibel. Wegen e(x) maximal ist λ_{x,K}′(X) ≠ 0, i.e. λ_{x,K}(X) ist separabel.

Sei m > 1. Sei y ∈ D ∖ K. Es ist D ein K(y)-Vektorraum, und es ist m^{2} = [D : K] = [D : K(y)][K(y) : K] = [D : K(y)]p^{e(y)}, und wegen e(y) ≥ 1 teilt p unser m.

Wir behaupten, es gibt K ⊂ E ⊆ D mit E|K eine separable Körpererweiterung. Ist deg λ_{x,K} > 1 für ein x ∈ D, so ist die Behauptung mit E = K(x^{p^{e(x)}}) gezeigt, da μ_{x^{p^{e(x)}},K}(X) = λ_{x,K}(X).

Wir haben für unsere Behauptung noch die Annahme, es sei deg λ_{x,K} = 1 für alle x ∈ D, zu widerlegen. Sei F ein maximaler Teilkörper, und sei α : F ⊗_{K} D ^{\overline{}^{∼}} F^{m×m}. Es ist (1 ⊗ x)α^{p^{e}(x)} = (1 ⊗ x^{p^{e(x)}})α = x^{p^{e(x)}}E, da x^{p^{e(x)}} ∈ K. Mit einer Jordanform über F̄ sieht man, daß Tr((1 ⊗ x)α)^{p^{e}(x)} = Tr((1 ⊗ x)α^{p^{e}(x)}) = 0. Es ist also Tr((1 ⊗ x)α) = 0 für alle x ∈ D. Aber 1 ⊗_{K} D enthält eine F -lineare Basis von F ⊗_{K} D, und somit ist die Spur die Nullform auf F^{m×m}, Widerspruch.

Sei also K ⊂ E ⊆ D mit E|K separabel, und sei D′ = C_{D}(E), was als endlichdimensionaler Integritätsbereich wiederum ein Schiefkörper ist. Da C_{D}(D′) = E mit dem Doppelzentralisatorsatz, folgt aus E ⊆ C_{D′}(D′) ⊆ C_{D}(D′) = E, daß Z(D′) = E. Wegen [D′ : E] < [D : K] existiert nach Induktionsvoraussetzung ein maximaler Teilkörper E ⊆ L ⊆ D′, für welchsen L|E separabel ist. Insgesamt ist L|K separabel. Bleibt zu zeigen, daß L maximal in D ist. Ansonsten finden wir ein x ∈ C_{D}(L) ∖ L, und es ist C_{D}(L) ⊆ C_{D}(E) = D′, also L(x) ⊆ D′, Widerspruch zu L maximal in D′.

Alternativ kann man im letzten Schritt argumentieren, es ist [L : K] = [L : E][E : K] = [D′ : L][D : D′] = [D : L].