G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 9

Abgabe 02.07.

Aufgabe 1 (4 Punkte).

Zeige, daß jeder als Menge endliche Schiefkörper D kommutativ ist. (Hinweis: Schreibe D^{∗} = ⋃_{d} d^{−1}L^{∗}d mit Skolem-Noether, L in D maximaler Teilkörper.)

Aufgabe 2 (4 Punkte).

Jeder Schiefkörper D mit Z(D) = Q und [D : Q] = 4 ist isomorph zu einem Schiefkörper der Form D_{a,b} für gewisse a, b ∈ Q^{∗}. (Hinweis: Skolem-Noether für maximalen Teilkörper.)

Aufgabe 3 (8 Punkte).

(i) Berechne Br(F_{q}) für q eine Primzahlpotenz.

(ii) Berechne Br(C).

(iii) Berechne Br(R).

(iv) Finde ein Element der Ordnung 2 in Br(F_{3}(X)), welches von br(F_{9}(X)|F_{3}(X)) annulliert wird (i.e. welches in Br(F_{9}(X)|F_{3}(X)) liegt).

(Hinweis: verwende in (i) Aufgabe 1, verfahre in (iii) wie in Aufgabe 2.)

Aufgabe 4 (6 Punkte).

(i) Sei A = Q^{4×4}, sei B die darin von (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix}) erzeugte Q-Teilalgebra. Zeige, daß

B einfach ist. Schreibe die einfache Algebra C = C_{A}(B) als Matrixring über einem Schiefkörper.

(ii) Sei A = H^{2×2}, sei x ∈ Q_{>0}, und sei B die darin von (\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix}) und (\begin{matrix}0 & 1 \\ −x & 0 \end{matrix}) erzeugte Q-Teilalgebra. Zeige, daß B einfach ist. Schreibe die einfache Algebra C = C_{A}(B) als Matrixring über einem Schiefkörper der Form D_{a,b}. Zeige ohne weitere Rechnung, daß B ⊗_{Q} C ≃ A.

Aufgabe 5 (2+4 Punkte).

(i) Sei K ein Körper der Charakteristik 0, sei G eine endliche Gruppe. Zeige: Der Gruppenring KG := {∑_{g∈G} a_{g}g | a_{g} ∈ K}, mit der von G induzierten Multiplikation, ist halbeinfach.

(ii) Sei D_{10} = ⟨a, b | a^{5}, b^{2}, a^{b} = a^{−1}⟩. Gib für QD_{10} und CD_{10} je einen Isomorphismus in ein direktes Produkt von Matrixringen über Schiefkörpern an. Wieviele Ideale hat QD_{10}? Wieviele Ideale hat CD_{10}?