G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 8

Abgabe 25.06.

Aufgabe 1 (2+2+12+2 Punkte).

Sei K ein Körper, sei A eine endlichdimensionale K-Algebra.

(1) Ein Ideal N ⊆ A heißt nilpotent, wenn es ein m ≥ 1 gibt mit N^{m} = 0. Zeige: es gibt ein nilpotentes Ideal, welches alle nilpotenten Ideale von A enthält. Dieses werde als Jacobson-Radikal bezeichnet und Jac(A) ⊆ A geschrieben.

(2) Zeige, daß Jac(A) minimal mit der Eigenschaft ist, daß A/Jac(A) halbeinfach ist. Speziell ist A halbeinfach genau dann, wenn Jac(A) = 0.

(3) Bestimme Jac(A). (Hinweis: verwende (1) und (2).) Gib eine Pierce-Zerlegung von A und von A/Jac(A) an.

(i) A = Q[X]/(X^{8} − 2X^{4} + 1).

(ii) A = Q^{3×3}. Sind alle nilpotenten Elemente von A in Jac(A) enthalten?

(iii) A = \{(\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{matrix}) ∈ Q^{3×3} | a_{3,1} = a_{3,2} = 0\}.

(iv) A = {(a_{i,j})_{i,j} ∈ Q^{3×3} | a_{2,1} = a_{3,1} = a_{3,2} = 0, a_{1,1} = a_{2,2}}.

(v) A = {(a_{i,j})_{i,j} ∈ Q^{3×3} | a_{3,1} = a_{3,2} = 0, a_{1,1} = a_{2,2}, a_{2,1} = −a_{1,2}}.

(vi) Wie (v), nur tensoriert mit Q(i) über Q.

(4) Um den Zusammenhang zu Blatt 4, Aufgabe 1 (f) herzustellen: zeige, daß Jac(A) gleich dem Schnitt aller maximalen Linksideale in A ist (und wegen seiner symmetrischen Definition dann auch gleich dem Schnitt aller maximalen Rechtsideale).

Aufgabe 2 (2+10+5+5+2 Punkte).

Sei K ein Körper von Charakteristik p > 0, sei K̄ ein algebraischer Abschluß von K. Sei K^{p^{−1}} := {x ∈ K̄ : x^{p} ∈ K}, dies definiert einen Teilkörper von K̄.

Eine (nicht notwendig endliche) Körpererweiterung L|K heiße separabel, falls für jedes über K linear unabhängige Tupel (x_{1}, …, x_{m}) von Elementen von L auch das Tupel (x_{1}^{p}, …, x_{m}^{p}) über K linear unabhängig ist.

Erinnerung.

• Der Körper K heißt perfekt, falls K \overline{}K, x \overline{}x^{p} surjektiv ist.

• Ein irreduzibles Polynom in K[X] heißt separabel, wenn es in K̄[X] in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

• Via x · (a ⊗ b) := axb für x ∈ L und a ⊗ b ∈ L ⊗_{K} L wird L zu einem L ⊗_{K} L-Modul.

(1) Zeige: K ist perfekt genau dann, wenn jede Körpererweiterung L|K separabel ist.

(2) Sei [L : K] endlich, insbesondere K̄|L|K. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen. (i) L|K ist separabel. (ii) L ⊗_{K} K^{p^{−1}} \overline{}L^{p^{−1}}, x ⊗ y \overline{}xy, ist injektiv. (iii) L ⊗_{K} K^{p^{−1}} ist ein Körper. (iv) L ⊗_{K} K^{p^{−1}} ist halbeinfach.

(v) L ⊗_{K} F ist halbeinfach für jeden Zwischenkörper K̄|F |K.

(vi) L ist projektiv als L ⊗_{K} L-Modul.

(vii) L ⊗_{K} L \overline{}L, x ⊗ y \overline{}xy, spaltet auf als L-L-Bimodulepimorphismus.

(viii) L ⊗_{K} K^{p^{−1}} enthält kein nilpotentes Element ungleich 0.

(ix) Jedes Element von L hat ein separables Minimalpolynom über K (d.i. die

Definition Separabilität für endliche Erweiterungen).

(x) Als K̄-Algebren ist L ⊗_{K} K̄ ≃ ∏_{i∈I} K̄, mit #I = [L : K].

(xi) Tr_{L|K} : L \overline{}K ist surjektiv.

Als vollständige Lösung wird (i) ⟺ (vi) ⟺ (ix) ⟺ (x) ⟺ (xi) akzeptiert, die anderen Aussagen sollen dabei helfen.

(3) Untersuche (2 i, vi, ix, x, xi) im Beispiel K = F_{2}, L = F_{4}.

(4) Untersuche (2 i, vi, ix, x, xi) im Beispiel K = F_{p}(X), L = F_{p}(X)^{p^{−1}}. Zeige dazu zunächst F_{p}(X)^{p^{−1}} = F_{p}(X^{p^{−1}}).

(5) Zeige: K(X)|K ist separabel.