G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 7

Abgabe 18.06.

Aufgabe 1 (6+2+3+2+2+2 Punkte).

(1) Sei A ein Ring, sei P ein endlich erzeugter A-Modul. Morphismen seien Morphismen von A-Moduln. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

(i) P ist projektiv (i.e. jeder Epimorphismus X \overline{}P spaltet auf).

(ii) Für jeden Epimorphismus X ^{\overline{}^{f}} Y und jeden Morphismus P ^{\overline{}^{v}} Y gibt es einen Morphismus P ^{\overline{}^{u}} X mit uf = v (man sagt, Hom_{A}(P, −) ist exakt).

(iii) Es gibt einen A-Modul Q und ein m ≥ 0 mit P ⊕ Q ≃ A^{m}.

(2) Zeige: Tensorieren mit einem endlich erzeugten projektiven A-Rechtsmodul überführt kurze exakte Sequenzen von A-Linksmoduln in kurze exakte Sequenzen von Z-Moduln.

(3) Sei R ein Dedekindbereich, sei K sein Quotientenkörper, und seien 𝔞, 𝔟 ⊆ K gebrochene Ideale. Zeige: Es ist 𝔞 ⊕ 𝔟 ≃ R ⊕ 𝔞𝔟.

(4) Zeige, daß gebrochene Ideale in K projektive Moduln sind (Hinweis: (2) und (1, iii)).

(5) Ist A ein Ring, so heißt ein endlich erzeugter A-Modul frei, falls er isomorph zu einem Modul der Form A^{m} ist für ein m ≥ 0.

Zeige, daß ein gebrochenes Ideal in K genau dann frei ist als R-Modul, wenn es ein gebrochenes Hauptideal ist. Gib ein Beispiel eines nicht freien projektiven Moduls an.

(6) Zeige, daß die Multiplikationsabbildung 𝔞 ⊗_{R} 𝔟 \overline{}𝔞𝔟 ein Isomorphismus von R-Moduln ist. (Hinweis: Verwende 𝔞 projektiv, um mit (2) die Injektivität von 𝔞 ⊗_{R} 𝔟 \overline{}𝔞 zu zeigen.)

Aufgabe 2 (1+4+1+3+1+4+2^{∗} Punkte).

Seien a, b ∈ Q, sei D_{a,b} := Q⟨⟨i, j⟩⟩/(i^{2} + a, j^{2} + b, ij + ji) = Q⟨1, i, j, ij⟩. Notation cf. Blatt 6, Aufgabe 1.

(1) Zeige: Ω ≃ D_{1,3}.

(2) Für welche a, b ∈ Q ist D_{a,b} ein Schiefkörper?

(3) Zeige: sind a, b ≠ 0, so ist das Zentrum Z(D_{a,b}) von D_{a,b} isomorph zu Q.

(4) Sei K ein Körper, und sei D ein Schiefkörper mit Zentrum K. Sei n := [D : K] endlich. Es ist D ein D-D-Bimodul über K, i.e. ein D^{∘} ⊗_{K} D-Rechtsmodul. Die Moduloperation induziert einen Morphismus D^{∘} ⊗_{K} D ^{\overline{}^{ρ}} End_{K}D ≃ K^{n×n}. Wir wollen zeigen, daß dies ein Isomorphismus ist.

(i) Zeige, daß es für jedes Element ξ = ∑_{i∈[1,m]} x_{i} ⊗ y_{i} ∈ D^{∘} ⊗_{K} D ungleich 0 eine beidseitige Linearkombination ∑_{j∈[1,s]} α_{j}ξβ_{j} = 1 ⊗ 1 gibt, wobei α_{j}, β_{j} ∈ D^{∘} ⊗_{K} D. (Hinweis: Induktion über m.)

(ii) Sei I der Kern von ρ. Zeige mit (i): I enthält kein Element ξ ungleich 0.

(iii) Es ist ρ ein Isomorphismus.

(5) Zeige: D_{a,b} ≃ D_{a,b}^{∘}.

(6) Seien a, b ≠ 0. Gib einen Isomorphismus D_{a,b} ⊗_{Q} D_{a,b} ^{\overline{}^{∼}} Q^{4×4} durch Angabe der Bilder von i ⊗ 1, j ⊗ 1, 1 ⊗ i und 1 ⊗ j an. (Hinweis: verwende (4) und (5).)

(7^{∗}) Finde einen Schiefkörper D so, daß H ⊗_{Q} Ω ≃ D^{2×2}.