G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 6

Abgabe 11.06.

Aufgabe 1 (2+2+2+2+4+2+4+4 Punkte).

Sei K ein Körper von Charakteristik 0. Bezeichne K⟨⟨i, j⟩⟩ die freie K-Algebra auf i und j, die als K-Basis sämtliche Wörter in i und j hat (einschließlich dem leeren), mit Multiplikation induziert vom Aneinandersetzen dieser Wörter, e.g. ijjij ·jji = ijjijjji = ij^{2}ij^{3}i. Seien

\begin{aligned}H_{K} & := & K⟨⟨i, j⟩⟩/(ij + ji, i^{2} + 1, j^{2} + 1) , \\ Ω_{K} & := & K⟨⟨i, ω⟩⟩/(i^{2} + 1, ω^{2} + ω + 1, ωi − iω^{2}) . \end{aligned}

Die Menge der Primstellen sei bezeichnet als V := {p ∈ Z : p > 0, p prim} ∪ {∞}, und es sei Q_{∞} := R.

(1) Gib einen einfachen H_{C}-Modul und einen einfachen Ω_{C}-Modul an, beide von Dimension 2 über C. Zeige: H_{C} ≃ C^{2×2} ≃ Ω_{C} als C-Algebren.

(2) Zeige: H_{K} hat die K-lineare Basis (1, i, j, ij), und Ω_{K} hat die K-lineare Basis (1, i, ω, iω) (Hinweis: es genügt, K = Q zu betrachten, der Rest folgt mit K ⊗_{Q} −; dann kann man wegen Q ⊆ C für l.u. auf (1) zurückgreifen).

(3) Zeige, daß die Norm von a + bi + cj + dij ∈ H := H_{Q} über Q gleich (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{2} ist. Zeige, daß die Norm von a + bω + ci + diω ∈ Ω := Ω_{Q} über Q gleich (a^{2} − ab + b^{2} + c^{2} − cd + d^{2})^{2} ist. (Hinweis: man kann die C-lineare Norm unter Verwendung von (1) berechnen).

(4) Zeige, daß H und Ω Schiefkörper sind. Finde je 2 nicht isomorphe maximale kommutative Teilkörper.

(5) Für welche Primstellen v ∈ V ist H_{v} := H_{Q_{v}} ein Schiefkörper? Für welche Primstellen v ∈ V ist Ω_{v} := Ω_{Q_{v}} ein Schiefkörper? Für die Primstellen ≠ ∞, für die dies zutrifft, bestimme man jeweils Verzweigungsindex, Trägheitsindex, die Maximalordnung und darin einen Erzeuger des maximalen Ideals.

(6) Zeige, daß H und Ω nicht isomorph sind.

(7) Für welche d ∈ Z quadratfrei kann man einen Isomorphismus von Q(\sqrt{d})-Algebren H_{Q(\sqrt{d})} ^{\overline{}^{∼}} Ω_{Q(\sqrt{d})} angeben, der i \overline{}i schickt? (Wir werden noch sehen, daß letztere Bedingung dank Skolem-Noether keine Einschränkung darstellt).

(8) Ist Z⟨1, i, j, ij⟩ eine Maximalordnung in H? Ist Z⟨1, i, ω, iω⟩ eine Maximalordnung in Ω? Gib je zwei Maximalordnungen in H und in Ω an. (Hinweis: Betrachte die Spurbilinearform von H resp. Ω eingeschränkt auf eine Ordnung.)

Aufgabe 2 (4+2+2+2+2+2 Punkte).

(1) Sei L|K eine Galoiserweiterung mit G := Gal(L|K). Gib einen Isomorphismus

L ⊗_{K} L ^{\overline{}^{∼}} ∏_{σ∈G} L

als L-Algebren an.

(2) Zeige unter Verwendung von (1) erneut, daß für x ∈ L

\begin{aligned}N_{L|K}(x) & = & ∏_{x∈G} xσ \\ Tr_{L|K}(x) & = & ∑_{x∈G} xσ , \end{aligned}

wobei die Norm als K-lineare Determinante und die Spur als K-lineare Spur der Multiplikation mit x auf L zu verstehen sei.

(3) Sei d ∈ Z quadratfrei, und d ≠ 1. Sei K = Q, sei L = Q(\sqrt{d}). Gib eine orthogonale Zerlegung der 1 in primitive Idempotente in L ⊗_{K} L an. Beschreibe das Bild der eingeschränkten Abbildung Z_{L} ⊗_{Z} Z_{L} [figure] Z_{L} × Z_{L}.

(4) Sei R ein kommutativer Ring, seien R-Algebren A, B gegeben. Ein A-B-Bimodul M heiße A-B-Bimodul über R, falls für alle r ∈ R und alle m ∈ M gilt, daß rm = mr. Sei A^{∘} (A opposite) der Ring, der als abelsche Gruppe mit A übereinstimmt, nur als Multiplikation a ·_{A^{∘}} a′ := a′ ·_{A} a trägt. Zeige: Der Begriff eines A-B-Bimoduls über R kann mit dem eines A^{∘} ⊗_{R} B-Rechtsmoduls identifiziert werden (formaler, man hat eine ‘Äquivalenz von Kategorien’, wer möchte).

(5) Sei σ ∈ G gegeben. Sei L_{σ} als abelsche Gruppe gleich L, mit der L-L-Bimoduloperation über K ausgestattet, die durch x · l · y := xl(yσ) erklärt ist. Zeige: jeder als K-Vektorraum endlichdimensionale L-L-Bimodul über K ist isomorph zu einer direkten Summe von Bimoduln der Form L_{σ} mit σ ∈ G.

(6) Seien ρ, σ ∈ G. Berechne den L-L-Bimodul L_{ρ} ⊗_{L} L_{σ} im Sinne von (5), i.e. schreibe ihn bis auf Isomorphie als direkte Summe von Bimoduln der Form L_{τ} mit τ ∈ G.