G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 5

Abgabe 04.06.

Aufgabe 1 (7 Punkte).

Sei p prim. Bestimme {x : f(x) = 0} in F_{p}, in Z_{p} (gib eine Approximation modulo p^{4} an) und in Z_{(p)}.

(1) p = 5, f(X) = X^{2} − 2.

(2) p = 7, f(X) = X^{2} − 2.

(3) p = 5, f(X) = X^{3} − 2.

(4) p = 7, f(X) = X^{3} − 1.

(5) p = 3, f(X) = X^{2} − 3X − 27.

(6) p = 3, f(X) = X^{2} − 3X − 9.

(7) p ≥ 3 beliebig, f(X) = X^{p−1} − 1. (Hinweis: betrachte j^{p^{∗}} für j ∈ [1, p − 1]).

Aufgabe 2 (9 Punkte).

Sei p prim. Zerlege pR und pR̂ in Primidealfaktoren. Gib in R̂ eine orthogonale Zerlegung der 1 in primitive Idempotente 1 = ∑_{j∈[1,d]} e_{j} an, und berechne die Ringe R̂e_{j}, die in R̂ ≃ R̂e_{1} × ⋯ × R̂e_{d} auftreten, als monogene Erweiterungen von Z_{p} (wobei es genüge, dabei auftretende p-adische Zahlen modulo p^{4} zu approximieren).

(1) R = Z_{(p)}[i], R̂ = Z_{p}[i], p ∈ {2, 3, 5}.

(2) R = Z_{(p)}[\sqrt[3]{2}], R̂ = Z_{p}[\sqrt[3]{2}], p ∈ \{2, 3, 5, 31\}.

(3) R = Z_{(p)}[ζ_{5}], R̂ = Z_{p}[ζ_{5}], p ∈ {5, 11, 19}.

Aufgabe 3 (4+2+2+2 Punkte). Sei R ⊆ C ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal erzeugt von r ∈ R und Quotientenkörper K. Sei s ∈ C ein ganzes Element über R.

(1) Zeige: es ist S := R[s] genau dann ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal erzeugt von s, wenn μ_{s,K}(X) ∈ R[X] ein Eisensteinpolynom ist, i.e. μ_{s,K}(X) ≡_{r} 0, μ_{s,K}(0) ≢_{r^{2}} 0. (Hinweis: Betrachte (R/rR)[X]/(X^{l}) \overline{}S/rS, X \overline{}s.)

(2) Zerlege diesenfalls Sr in S in ein Produkt von Primidealen. Zeige: R/rR ^{\overline{}^{∼}} S/sS, x \overline{}x.

(3) Verifiziere (1) am Beispiel R = Z_{(p)}, r = p, s = ζ_{p} − 1.

(4) Verifiziere (1) am Beispiel R = Z_{(p)}[ζ_{p}], r = ζ_{p} − 1, s = ζ_{p^{2}} − 1.