G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 4

Abgabe 28.05.

Auf diesem umfangreichen Blatt sind 30 Punkte zu vergeben. 20 Punkte werden als 100% gewertet.

Aufgabe 1 (4+2+2+2+2+3 Punkte). Lokalisierung.

Sei R ein kommutativer Ring, sei S ⊆ R eine multiplikatives Teilmonoid von R (i.e. 1 ∈ S, x, y ∈ S ⟹ xy ∈ S).

(a) Sei M ein R-Modul, und sei S^{−1}M := M × S/ ∼, wobei (m, s) ∼ (m′, s′) genau dann, wenn es ein t ∈ S gibt mit ms′t = m′st. Zeige, daß eine Äquivalenzrelation vorliegt. Die Äquivalenzklasse von (m, s) wird auch als Bruch m/s geschrieben.

(i) Zeige, daß S^{−1}M vermittels Addition m/s + m′/s′ = (ms′ + m′s)/ss′ zu einer abelschen Gruppe wird.

(ii) Zeige, daß die abelsche Gruppe S^{−1}R vermittels (r/s)(r′/s′) = (rr′)/(ss′) zu einem kommutativen Ring wird, über welchem S^{−1}M vermöge (m/s)(r′/s′) = (mr′)/(ss′) einen Modul bildet. Zeige, daß R ^{\overline{}^{λ}} S^{−1}R, x \overline{}x/1 ein im allgemeinen nicht injektiver Ringmorphismus ist.

(iii) Zeige: Ist R ^{\overline{}^{f}} A ein Ringmorphismus in einen kommutativen Ring A mit Sf ⊆ A^{∗}, so gibt es genau einen Ringmorphismus S^{−1}R ^{\overline{}^{g}} A mit λg = f (universelle Eigenschaft der Lokalisierung). Zeige, daß die Tatsache, daß Sλ ⊆ (S^{−1}R)^{∗} und diese eindeutige Faktorisierungseigenschaft den Ring S^{−1}R bis auf einen Ringisomorphismus eindeutig festlegen.

(iv) Zeige: die Abbildung 𝔭 \overline{}λ^{−1}(𝔭) vermittelt eine Bijektion der Menge der Primideale von S^{−1}R mit der Menge der Primideale von R, die leeren Schnitt mit S haben.

(b) Sei Nil (R) := {x ∈ R : es gibt ein m ≥ 0 mit x^{m} = 0}. Zeige, daß Nil (R) = ∩_{𝔭 ⊆ R prim} 𝔭. (Hinweis: nehme echte Inklusion an und verwende S = {1, x, x^{2}, … }.)

(c) Zeige: ist M ^{\overline{}^{f}} M′ ein Morphismus von R-Moduln, so ist S^{−1}M^{\overline{}^{S^{−1}f}} S^{−1}M, m/s \overline{}mf/s wohldefiniert. Zeige: ist M′ ^{\overline{}^{f}} M ^{\overline{}^{g}} M′′ eine exakte Sequenz von R-Moduln (i.e. Im f = Kern g), so auch S^{−1}M′ ^{\overline{}^{S^{−1}f}} S^{−1}M^{\overline{}^{S^{−1}g}} S^{−1}M′′.

(d) Ist 𝔭 ⊆ R prim, und ist M ein R-Modul, so schreiben wir auch M_{𝔭} := (R ∖ 𝔭)^{−1}M. Sei nun R = Z, 𝔭 = (p), m ≥ 1. Berechne die abelsche Gruppe (Z/mZ)_{(p)}. Gib alle endlichen Z_{(p)}-Moduln an (b.a. Isomorphie).

(e) Sei M ein R-Modul. Zeige: Ist M_{𝔪} = 0 für alle maximalen Ideale 𝔪 ⊆ R, so ist M = 0. Man folgere, daß ein R-Modulmorphismus f genau dann monomorph, epimorph resp. isomorph ist, wenn dies für f_{𝔪} gilt für alle maximalen Ideale 𝔪 ⊆ R.

(f) (Nakayamas Lemma). Sei M ein endlich erzeugter R-Modul, und bezeichne Jac(R) := ∩_{𝔪 ⊆ R maximal} 𝔪 das Jacobson-Radikal von R. Zeige: ist j ∈ Jac(R), so ist 1−j invertierbar. Man folgere, daß Jac(R)M = M impliziert, daß M = 0. Man folgere, daß ein R-Modulmorphismus M ^{\overline{}^{f}} M′ genau dann epimorph ist, wenn dies für den induzierten Morphismus M/Jac(R)M ^{\overline{}^{f̄}} M′/Jac(R)M′ gilt. Ist M′ projektiv, so hat man dieselbe Äquivalenz auch für die Isomorphie. (Hierbei heißt M′ projektiv, wenn es für jeden Epimorphismus X ^{\overline{}^{f}} M′ einen Morphismus M′ ^{\overline{}^{g}} X gibt mit gf = 1_{M′}.)

Aufgabe 2 (2+2+2+9 Punkte).

(a) Seien L|K und M|K Zahlkörpererweiterungen, und sei E = LM. Sei [E : K] = [L : K][M : K] (man sagt, L und M sind linear disjunkt über K). Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quot (R) = K, und seien S ⊆ L, T ⊆ M und U ⊆ E die jeweiligen ganzen Abschlüsse in M. Bezüglich diesen betrachten wir unsere Diskriminanten. Zeige: ist (Δ_{M|K}) = (1), so ist U = ST und

(Δ_{E|K}) = (Δ_{L|K})^{[M:K]} .

(b) Sei p ∈ Z prim, sei m ≥ 1. Zeige, daß der Ring der ganzen Zahlen in Q(ζ_{p^{m}}) gegeben ist durch Z[ζ_{p^{m}}]. Berechne das Diskriminantenideal (Δ_{Q(ζ_{p^{m}})|Q}).

(c) Sei n ≥ 1. Zeige, daß der Ring der ganzen Zahlen in Q(ζ_{n}) gegeben ist durch Z[ζ_{n}]. Berechne (Δ_{Q(ζ_{n})|Q}). (Hinweis: Q(ζ_{mm′}) = Q(ζ_{m})Q(ζ_{m′}) für m und m′ teilerfremd.)

(d) Bestimme für je ein Primideal in Z[ζ_{24}] über den Primidealen

(i) (2) ⊆ Z,

(ii) (3) ⊆ Z,

(iii) (13) ⊆ Z

die Zerlegungsgruppe, die Trägheitsgruppe, den Zerlegungskörper und den Trägheitskörper. Bestätige : zwischen Grundkörper und Zerlegungskörper liegt die Zerlegung, zwischen Zerlegungskörper und Trägheitskörper liegt die Trägheit, und zwischen Trägheitskörper und Erweiterung liegt die Verzweigung. (Hinweis: maple, insbesondere numtheory, ist hilfreich).