G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 3

Abgabe 21.05.

Aufgabe 1 (8 Punkte).

Sei K ein Zahlkörper, sei [K : Q] = n. Sei G die Menge der Körpereinbettungen von K nach C. Sei r die Anzahl der reellen und 2s die Anzahl der echt komplexen solcher Einbettungen.

(a) Sei t ∈ R_{>0}. Zeige, daß die Teilmenge

X_{t} = {(z_{τ})_{τ∈G} ∈ K_{R} : ∑_{τ∈G} |z_{τ}| < t} ⊆ K_{R}

zentralsymmetrisch und konvex ist und das Volumen 2^{r}π^{s}t^{n}/n! hat.

(b) Zeige: in jeder Idealklasse von K gibt es ein ganzes Ideal 𝔞 mit

N_{K|Q}(𝔞) ≤ \frac{n!}{n^{n}} (\frac{4}{π} )^{s} \sqrt{|Δ_{K|Q}|} .

(c) Zeige: ist K ≠ Q, so ist |Δ_{K|Q}| ≠ 1.

(d) Zeige, daß 5^{−n}|Δ_{K|Q}| für n \overline{}∞ gegen ∞ strebt (i.e. für jede Konstante C > 0 gibt es ein N ≥ 0 so, daß [K : Q] ≥ N impliziert, daß 5^{−n}|Δ_{K|Q}| > C).

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Sei M|L|K eine iterierte Erweiterung von Zahlkörpern. Seien die folgenden Diskriminanten bezüglich eines diskreten Bewertungsringes R ⊆ K mit K = Quot (R) bzw. seiner ganzen Abschlüsse in L und M zu verstehen. Zeige:

Δ_{M|K} = Δ_{L|K}^{[M:L]} · N_{L|K}(Δ_{M|L}) .

Aufgabe 3 (6 Punkte)

(a) Sei R ein Dedekindbereich, sei 0 ≠ 𝔞 ⊆ R ein Ideal, und sei m ≥ 1 mit 𝔞^{m} = (a) ein Hauptideal. Sei K der Quotientenkörper von R und sei S der ganze Abschluß von R in K(a^{1/m}). Zeige, daß S𝔞 ein Hauptideal in S ist (man sagt, 𝔞 kapituliert in S).

(b) Sei L|K eine Erweiterung von Zahlkörpern. Zeige, daß die Abbildung

[figure: Cl(K); ^{Cl^{L|K}}; Cl(L); [𝔞]; [Z_{L}𝔞]]

wohldefiniert ist, wobei [𝔞] die Idealklasse von 𝔞 bezeichne. Zeige, daß es für jeden Zahlkörper K eine Zahlkörpererweiterung L|K gibt mit Cl_{L|K} trivial.

(c) Berechne ein L mit Cl_{L|Q(\sqrt{−5})} trivial. Aufgabe 4 (5 Punkte)

Berechne die Einheitengruppen in Z[\sqrt{2}] (erneut, aber nun mit Dirichlet!), Z[\sqrt{3}], Z[(1 + \sqrt{5})/2], Z[ζ_{5}] und Z[\sqrt[3]{2}].