G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 2

Abgabe 14.05.

Aufgabe 1 (6 Punkte).

(a) Sei R ein Integritätsbereich von Charakteristik 0, der von einem ganzen Element ξ über Z erzeugt wird, R = Z[ξ] (R ganze monogene Erweiterung von Z). Zeige, daß jedes Primideal ungleich 0 in R von der Form (p, η) ist für ein p ∈ Z prim und ein η ∈ R.

(b) Sei R ein Dedekindbereich. Zeige, daß jedes Ideal in R von zwei Elementen erzeugt wird. (Hinweis: Chinesischer Restsatz.)

(c) Zeige, daß ein Dedekindbereich mit endlich vielen Primidealen ein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe 2 (4 Punkte).

Sei p eine Primzahl. Schreibe Z = F_{p}[X] und Q = F_{p}(X). Sei d(X) ∈ Z quadratfrei. Gib eine Z-lineare Basis des Rings der über Z ganzen Elemente in Q(\sqrt{d(X)}) an.

Aufgabe 3 (4 Punkte).

Berechne die Klassengruppe von Z[\sqrt{−5}].

Aufgabe 4 (6 Punkte).

Berechne die Diskriminante des jeweiligen Ringes. Zerlege die angegebenen Ideale jeweils in ein Produkt von Primidealen.

(a) (2), (5), (7), (13) ⊆ Z[\sqrt{−13}].

(b) (2), (3), (5) ⊆ Z[(1 + \sqrt{−15})/2].

(c) Sei p ≥ 3 prim. Betrachte (2), (p) ⊆ Z[ζ_{p}].