G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 11

Abgabe 16.07.

Aufgabe 1 (9 Punkte).

Sei G eine Gruppe, und sei M ein ZG-Modul, wobei ZG = {∑_{g∈G} z_{g}g : z_{g} ∈ Z} den mit der von G induzierten Multiplikation versehenen Gruppenring von G bezeichne. I.e. M ist eine abelsche Gruppe mit einer (diesbezüglich distributiven) Operation von G.

(0) Sei H^{0}(G, M) = Z^{0}(G, M) = M^{G} := {m ∈ M : m − mg = 0 stets} die nullte Cohomologiegruppe von G mit Koeffizienten in M. Ein m ∈ Z^{0}(G, M) heißt auch 0-Cozykel. Sei B^{0}(G, M) := 0 (der Form halber).

(1) Sei Z^{1}(G, M) := \{G ^{\overline{}^{d}} M : d(h) − d(gh) + d(g)h = 0 stets\}. Ein d ∈ Z^{1}(G, M) heißt Derivation oder auch 1-Cozykel.

Sei B^{1}(G, M) := \{g \overline{}m − mg : m ∈ M\} (‘mißglückte 0-Cozykel’). Ein d ∈ B^{1}(G, M) heißt innere Derivation oder auch 1-Corand.

Sei H^{1}(G, M) := Z^{1}(G, M)/B^{1}(G, M) die erste Cohomologiegruppe von G mit Koeffizienten in M.

(2) Sei Z^{2}(G, M) := \{G × G ^{\overline{}^{f}} M : f(h, k) − f(gh, k) + f(g, hk) − f(g, h)k = 0 stets\}. Ein f ∈ Z^{2}(G, M) heißt Faktorensystem oder auch 2-Cozykel.

Sei B^{2}(G, M) := \{(g, h) \overline{}d(h)−d(gh)+d(g)h : G ^{\overline{}^{d}} M\} (‘mißglückte 1-Cozykel’). Ein f ∈ B^{2}(G, M) heißt inneres Faktorensystem oder auch 2-Corand.

Sei H^{2}(G, M) := Z^{2}(G, M)/B^{2}(G, M) die zweite Cohomologiegruppe von G mit Koeffizienten in M.

Sei 0 \overline{}M′ \overline{}M \overline{}M′′ \overline{}0 eine kurze exakte Sequenz von ZG-Moduln. Zeige, daß die Sequenz

0 \overline{}H^{0}(G, M′) \overline{}H^{0}(G, M) \overline{}H^{0}(G, M′′) ^{\overline{}^{∂_{0}}}
H^{1}(G, M′) \overline{}H^{1}(G, M) \overline{}H^{1}(G, M′′) ^{\overline{}^{∂_{1}}}
H^{2}(G, M′) \overline{}H^{2}(G, M) \overline{}H^{2}(G, M′′)

exakt ist. Hierbei seien die nicht bezeichneten Morphismen die von der Komposition mit M′ \overline{}M bzw. M \overline{}M′′ induzierten Abbildungen.

Ferner sei ∂_{0} dadurch gegeben, daß repräsentantenweise für einen 0-Cozykel m′′ ∈ Z^{0}(G, M′′) zunächst ein m \overline{}m′′ gewählt und dann m′′ der 1-Cozykel g \overline{}m−mg zugeordet werde.

Schließlich sei ∂_{1} dadurch gegeben, daß repräsentantenweise für einen 1-Cozykel d′′ ∈ Z^{1}(G, M′′) zunächst eine Abbildung G ^{\overline{}^{d}} M mit (G ^{\overline{}^{d}} M \overline{}M′′) = (G ^{\overline{}^{d′′}} M′′) gewählt und dann d′′ der 2-Cozykel (g, h) \overline{}d(h) − d(gh) + d(g)h zugeordet werde.

Aufgabe 2 (8 Punkte).

Sei L|K endlich galoisch, sei n = [L : K], sei G = Gal(L|K). Sei M = L^{∗} ein ZG-Modul vermöge x · (∑_{g∈G} z_{g}g) := ∏_{g∈G}(x^{z_{g}})g für x ∈ L^{∗} und ∑_{g∈G} z_{g}g ∈ ZG. (Vorsicht, hier spielt nun die Multiplikation die Rolle der Addition in Aufgabe 1.)

(1) Zeige, daß H^{0}(G, L^{∗}) = K^{∗}.

(2) Zeige, daß H^{1}(G, L^{∗}) = 1 (Theorem Nr. 90 aus Hilberts Zahlbericht).

(3) Sei R ⊆ K ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal Rr und Quotientenkörper K, sei S sein ganzer Abschluß in L. Sei angenommen, daß S|R rein verzweigt ist, i.e. daß S ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal Ss ist so, daß Ss^{n} = Sr. Zeige, daß H^{1}(G, S^{∗}) ≃ Z/nZ. (Hinweis: betrachte die kurz exakte Sequenz 1 \overline{}S^{∗} \overline{}L^{∗} \overline{}\underbrace{L^{∗}/S^{∗}}_{≃ Z} \overline{}1, verwende (2) und Aufgabe 1).

(4) Sei p prim, sei M = C_{p^{2}−1} = ⟨a⟩ (multiplikativ geschrieben), sei G = C_{2} = ⟨σ⟩, und sei auf M vermittels aσ := a^{p} eine ZC_{2}-Modulstruktur definiert. Zeige direkt, daß H^{2}(C_{2}, C_{p^{2}−1}) = 1. Zeige dies unter Zuhilfenahme von Br(F_{p^{2}}/F_{p}) erneut.

Aufgabe 3 (5 Punkte). Sei K ein Körper von Charakteristik p > 0, und sei D ein Schiefkörper mit Z(D) = K. Zeige, daß es in D einen maximalen Teilkörper gibt, der über K separabel ist. (Hinweis: vgl. Reiner, Maximal Orders, 7.15.)