G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 10

Abgabe 09.07.

Durchweg sind p-adische Zahlen approximativ anzugeben. Aufgabe 1 (18 Punkte). Sei D eine Q-Algebra, sei [D : Q] = m^{2}.

(i) Bestimme endlich(D) := {p prim | D_{p} := Q_{p} ⊗_{Q} D Schiefkörper}. (ii) Sei ζ_{p^{m}−1} eine primitive (p^{m} −1)-ste Einheitswurzel über Q_{p}, und sei Φ(X) ∈ Q_{p}[X]

ihr Minimalpolynom. Gib für p ∈ endlich(D) einen Isomorphismus als Q_{p}-Algebren von

Q_{p}⟨⟨ζ, π⟩⟩/(Φ(ζ), π^{m} − p, πζ − ζ^{p^{r}}π)

nach D_{p} an, mit geeignet gewähltem r (der so – bis auf Bezeichnung – bestimmten Hasse-Invarianten).

(iii) Gib für p ∈ endlich(D) die Z_{p}-linearen Elementarteiler der Grammatrix der redu-

zierten Spurbilinearform auf der Maximalordnung in D_{p} an. Wir schreiben (D_{a,b})_{p} = D_{a,b; p}, die Indizes a, b verwendet wie in Aufgabe 2 auf Blatt 7.

(a) D = H = D_{1,1}.

(b) D = D_{−2,3}.

(c) D = Q⟨⟨ξ, π⟩⟩/(ξ^{4} + ξ^{3} + ξ^{2} + ξ + 1, π^{4} − 2, πξ − ξ^{2}π). Aufgabe 2 (1 Punkt). Bestimme alle a, b ∈ Q^{∗} mit D_{a,b; 2} ≃ H_{2}. Aufgabe 3 (6 Punkte). Spezifiziere eine maximale unverzweigte Zwischenerweiterung in L|K.

(1) K = Q_{2}, L = Q_{2}(ζ_{12}).

(2) K = Q_{3}, L = Q_{3}(ζ_{12}).

(3) K = F_{3}((t)), L = F_{3}((t))[X]/(X^{4} − X^{2} + (1 + t)).

Aufgabe 4 (6 Punkte). Sei ζ_{7} eine primitive 7te Einheitswurzel über Q.

(1) Zeige, daß Q_{2} ⊗_{Q} Q(ζ_{7}) isomorph zu einem direkten Produkt zweier Körper ist.

(2) Gib einen Isomorphismus des ersten Faktors auf den zweiten an.

(3) Welche Minimalpolynome kann eine primitive 7-te Einheitswurzel über Q_{2} haben?

Aufgabe 5 (3 Punkte). Sei D ein Schiefkörper mit Z(D) = K und [D : K] = m^{2}, sei E|K eine endliche Erweiterung mit [E ⊗_{K} D] = [E] in Br(E). Zeige, daß m | [E : K]. (Hinweis: Betrachte D-Dimension von Summanden von E ⊗_{K} D.)