G. Nebe, M. Künzer

Übungen Algebra II, Sommersemester 03

Blatt 1

Abgabe 07.05.

Literaturhinweis für dieses Blatt: Neukirch, Algebraische Zahlentheorie.

Aufgabe 1 (4 Punkte).

(a) Sei d eine ganze quadratfreie Zahl. Gib eine Z-lineare Basis des Rings der algebraisch ganzen Zahlen in Q(\sqrt{d}) an.

(b) Bestimme die Gruppe der Einheiten und die Primideale in Z[\sqrt{2}].

Aufgabe 2 (4 Punkte).

(a) Sei p eine Primzahl in Z und sei ζ_{p} eine primitive pte Einheitswurzel über Q. Zeige, daß der Ring der ganzen Zahlen in Q(ζ_{p}) gegeben ist durch Z[ζ_{p}].

(b) Sei nun p = 3. Zeige, daß Z[ζ_{3}] ein Hauptidealbereich ist. (Hinweis: euklidisch bzgl. Norm.)

Aufgabe 3 (4 Punkte).

Welche Primzahlen in Z lassen sich in der Form a^{2} + b^{2} schreiben mit a, b ∈ Z? (Hinweis: N_{Q(i)|Q}(a + bi) = a^{2} + b^{2}, verwende Primelemente von Z[i].)

Aufgabe 4 (6 Punkte).

(a) Sei R ein Integritätsbereich, in welchem jedes Element eine Zerlegung als Produkt von Primelementen besitzt. Man sagt, R sei (prim)faktoriell. Zeige, daß eine solche Zerlegung bis auf Einheiten eindeutig ist. Zeige, daß R ganzabgeschlossen ist.

(b) Zeige, daß ein Hauptidealbereich primfaktoriell ist. (Hinweis: betrachte Ideal, welches maximal mit der Eigenschaft ist, daß sein Erzeuger keine Zerlegung in Primfaktoren besitzt.)

(c) Finde einen Ring R algebraisch ganzer Zahlen in einem Zahlkörper und eine Primzahl p in Z so, daß es in R/pR ein nilpotentes Element von Nilpotenzgrad 3 gibt (d.h. min{m ≥ 1 : x^{m} ≡_{pR} 0} = 3).